§2.prop.6ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα, προστεθῇ δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τῆς προσκειμένης περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης τετραγώνῳ.
만약 어떤 직선이 이등분되고, 다른 어떤 직선이 그것에 한 직선이 되도록 덧붙여진다면, 전체 직선에 덧붙여진 직선을 합한 것과 그 덧붙여진 직선에 의해 둘러싸인 직사각형에 절반의 선분 상에 그려진 정사각형을 더한 것은, 절반의 선분과 덧붙여진 직선의 합 상에 그려진 정사각형과 같다.
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ σημεῖον, προσκείσθω δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας ἡ ΒΔ·
왜냐하면 어떤 직선 AB가 C점에서 이등분되고, 어떤 직선 BD가 그것에 한 직선이 되도록 덧붙여져 있다고 하자.
λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ.
나는 말한다, AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형에 CB 상에 그려진 정사각형을 더한 것은 CD 상에 그려진 정사각형과 같다.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετράγωνον τὸ ΓΕΖΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Β σημείου ὁποτέρᾳ τῶν ΕΓ, ΔΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΗ, διὰ δὲ τοῦ Θ σημείου ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΜ, καὶ ἔτι διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΓΛ, ΔΜ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΚ.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΛ τῷ ΓΘ. ἀλλὰ τὸ ΓΘ τῷ ΘΖ ἴσον ἐστίν.
왜냐하면 CD 상에 정사각형 CEZD가 그려지고, DE가 연결되며, B점을 지나 EG, DZ 중 어느 하나에 평행하게 BH가 그어지고, Q점을 지나 AB, EZ 중 어느 하나에 평행하게 다시 KM이 그어지며, 다시 A를 지나 CL, DM 중 어느 하나에 평행하게 AK가 그어졌다고 하자. 그러므로 AC가 CB와 같으므로, AL 또한 CQ와 같다. 그러나 CQ는 QZ와 같다.
καὶ τὸ ΑΛ ἄρα τῷ ΘΖ ἐστιν ἴσον.
그러므로 AL 또한 QZ와 같다.
κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΜ·
공통인 CM이 더해졌다고 하자.
ὅλον ἄρα τὸ ΑΜ τῷ ΝΞΟ γνώμονί ἐστιν ἴσον.
그러므로 전체 AM은 그노몬 NXO와 같다.
ἀλλὰ τὸ ΑΜ ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ· ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΔΜ τῇ ΔΒ·
그러나 AM은 AD, DB에 의한 직사각형이다, 왜냐하면 DM이 DB와 같기 때문이다.
καὶ ὁ ΝΞΟ ἄρα γνώμων ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ.
그러므로 그노몬 NXO 또한 AD, DB에 의한 직사각형과 같다.
κοινὸν προσκείσθω τὸ ΛΗ, ὅ ἐστιν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνῳ·
공통인 LH가 더해졌다고 하자. 이것은 BC 상에 그려진 정사각형과 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ΝΞΟ γνώμονι καὶ τῷ ΛΗ. ἀλλὰ ὁ ΝΞΟ γνώμων καὶ τὸ ΛΗ ὅλον ἐστὶ τὸ ΓΕΖΔ τετράγωνον, ὅ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΓΔ·
그러므로 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형에 CB 상에 그려진 정사각형을 더한 것은 그노몬 NXO와 LH의 합과 같다. 그러나 그노몬 NXO와 LH는 전체 정사각형 CEZD이며, 그것은 CD 상에 그려진 것이다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ.
그러므로 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형에 CB 상에 그려진 정사각형을 더한 것은 CD 상에 그려진 정사각형과 같다.
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα, προστεθῇ δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τῆς προσκειμένης περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης τετραγώνῳ·
그러므로 만약 어떤 직선이 이등분되고, 다른 어떤 직선이 그것에 한 직선이 되도록 덧붙여진다면, 전체 직선에 덧붙여진 직선을 합한 것과 그 덧붙여진 직선에 의해 둘러싸인 직사각형에 절반의 선분 상에 그려진 정사각형을 더한 것은, 절반의 선분과 덧붙여진 직선의 합 상에 그려진 정사각형과 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.
ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τὸ ἀφʼ ἑνὸς τῶν τμημάτων τὰ συναμφότερα τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ.
만약 어떤 직선이 임의로 분할된다면, 전체 직선 상에 그려진 정사각형과 그 분할된 선분들 중 하나 상에 그려진 정사각형의 합은, 전체 직선과 앞서 말한 선분에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배에 남은 선분 상에 그려진 정사각형을 더한 것과 같다.
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Γ σημεῖον·
왜냐하면 어떤 직선 AB가 임의로 C점에서 분할되어 있다고 하자.
λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνῳ.
나는 말한다, AB, BC 상에 그려진 정사각형들의 합은 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배에 CA 상에 그려진 정사각형을 더한 것과 같다.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔΕΒ· καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
왜냐하면 AB 상에 정사각형 ADEB가 그려지고, 도형이 그려졌다고 하자.
ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΗ τῷ ΗΕ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΖ·
그러므로 AH가 HE와 같으므로, 공통인 CZ가 더해졌다고 하자.
ὅλον ἄρα τὸ ΑΖ ὅλῳ τῷ ΓΕ ἴσον ἐστίν·
그러므로 전체 AZ는 전체 CE와 같다.
τὰ ἄρα ΑΖ, ΓΕ διπλάσιά ἐστι τοῦ ΑΖ. ἀλλὰ τὰ ΑΖ, ΓΕ ὁ ΚΛΜ ἐστι γνώμων καὶ τὸ ΓΖ τετράγωνον·
그러므로 AZ, CE는 AZ의 두 배이다. 그러나 AZ, CE는 그노몬 KLM과 정사각형 CZ이다.
ὁ ΚΛΜ ἄρα γνώμων καὶ τὸ ΓΖ διπλάσιά ἐστι τοῦ ΑΖ. ἔστι δὲ τοῦ ΑΖ διπλάσιον καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ἴση γὰρ ἡ ΒΖ τῇ ΒΓ·
그러므로 그노몬 KLM과 정사각형 CZ는 AZ의 두 배이다. 또한 AB, BC에 의한 직사각형의 두 배 역시 AZ의 두 배이다, 왜냐하면 BZ가 BC와 같기 때문이다.
ὁ ἄρα ΚΛΜ γνώμων καὶ τὸ ΓΖ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΔΗ, ὅ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον·
그러므로 그노몬 KLM과 정사각형 CZ는 AB, BC에 의한 직사각형의 두 배와 같다. 공통인 DH가 더해졌다고 하자. 이것은 AC 상에 그려진 정사각형이다.
ὁ ἄρα ΚΛΜ γνώμων καὶ τὰ ΒΗ, ΗΔ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνῳ.
그러므로 그노몬 KLM과 정사각형 BH, HD의 합은 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배와 AC 상에 그려진 정사각형의 합과 같다.
ἀλλὰ ὁ ΚΛΜ γνώμων καὶ τὰ ΒΗ, ΗΔ τετράγωνα ὅλον ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ καὶ τὸ ΓΖ, ἅ ἐστιν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα·
그러나 그노몬 KLM과 정사각형 BH, HD는 전체 정사각형 ADEB와 CZ이며, 이것들은 AB, BC 상에 그려진 정사각형들이다.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνου.
그러므로 AB, BC 상에 그려진 정사각형들의 합은 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배에 AC 상에 그려진 정사각형을 더한 것과 같다.
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τὸ ἀφʼ ἑνὸς τῶν τμημάτων τὰ συναμφότερα τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ·
그러므로 만약 어떤 직선이 임의로 분할된다면, 전체 직선 상에 그려진 정사각형과 그 분할된 선분들 중 하나 상에 그려진 정사각형의 합은, 전체 직선과 앞서 말한 선분에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배에 남은 선분 상에 그려진 정사각형을 더한 것과 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.