§2.prop.5ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, τὸ ὑπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνῳ.
もし直線が等しい部分と等しくない部分とに分割されるならば、全体の不等な線分によって囲まれる直角四辺形と、分割点の間の線分から作られる正方形との和は、半分の線分から作られる正方形に等しい。
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Γ, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Δ·
なぜなら、ある直線ABが、C点において等しい部分に、D点において等しくない部分に分割されているとする。
λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ.
私は言う、AD, DBによって囲まれる直角四辺形と、CDから作られる正方形との和は、CBから作られる正方形に等しいと。
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον τὸ ΓΕΖΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Δ ὁποτέρᾳ τῶν ΓΕ, ΒΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΗ, διὰ δὲ τοῦ Θ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΕΖ παράλληλος πάλιν ἤχθω ἡ ΚΜ, καὶ πάλιν διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΓΛ, ΒΜ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΚ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΘ παραπλήρωμα τῷ ΘΖ παραπληρώματι, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΔΜ·
なぜなら、CBから正方形CEZBが記述され、 BEが結ばれ、Dを通ってCE, BZのいずれか一方に平行にDHが引かれ、Qを通ってAB, EZ ofのいずれか一方に平行にさらにKMが引かれ、さらにAを通ってCL, BMのいずれか一方に平行にAKが引かれたとする。 そして補形CQは補形QZに等しいから、共通のDMが加えられたとせよ。
ὅλον ἄρα τὸ ΓΜ ὅλῳ τῷ ΔΖ ἴσον ἐστίν.
したがって、全体のCMは、全体のDZに等しい。
ἀλλὰ τὸ ΓΜ τῷ ΑΛ ἴσον ἐστίν, ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ ἐστιν ἴση·
しかし CMはALに等しい。 なぜならACもGBに等しいからである。
καὶ τὸ ΑΛ ἄρα τῷ ΔΖ ἴσον ἐστίν.
したがって、ALもDZに等しい。
κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΘ·
共通のCQが加えられたとせよ。
ὅλον ἄρα τὸ ΑΘ τῷ ΜΝΞ γνώμονι ἴσον ἐστίν.
したがって、全体のAQはグノーモンMNXに等しい。
ἀλλὰ τὸ ΑΘ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἐστιν·
しかし、AQはAD, DBによるものである。
ἴση γὰρ ἡ ΔΘ τῇ ΔΒ·
なぜなら、DQはDBに等しいからである。
καὶ ὁ ΜΝΞ ἄρα γνώμων ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΔ, ΔΒ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΛΗ, ὅ ἐστιν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ·
したがって、グノーモンMNXも AD, DBによるものに等しい。 共通のLHが加えられたとせよ。 これはCDから作られる正方形に等しい。
ὁ ἄρα ΜΝΞ γνώμων καὶ τὸ ΛΗ ἴσα ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ.
したがって、グノーモンMNXとLHとの和は、AD, DBによって囲まれる直角四辺形とCDから作られる正方形との和に等しい。
ἀλλὰ ὁ ΜΝΞ γνώμων καὶ τὸ ΛΗ ὅλον ἐστὶ τὸ ΓΕΖΒ τετράγωνον, ὅ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΓΒ·
しかし、グノーモンMNXとLHは全体としては正方形CEZBであり、それはCBから作られるものである。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ.
したがって、AD, DBによって囲まれる直角四辺形とCDから作られる正方形との和は、CBから作られる正方形に等しい。
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, τὸ ὑπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνῳ·
したがって、もし直線が等しい部分と等しくない部分とに分割されるならば、全体の不等な線分によって囲まれる直角四辺形と、分割点の間の線分から作られる正方形との和は、半分の線分から作られる正方形に等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。