§2.prop.8ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ τετράκις ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπό τε τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ.
もし直線が任意に分割されるならば、全体の直線と分割された線分の一方とによって囲まれる直角四辺形の4倍に、残りの線分から作られる正方形を加えたものは、全体の直線と前述の線分とを合わせた一つの線分から作られるかのように記述された正方形に等しい。
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Γ σημεῖον·
なぜなら、ある直線ABが、任意にC点において分割されているとする。
λέγω, ὅτι τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, ΒΓ ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ.
私は言う、AB, BCによって囲まれる直角四辺形の4倍に、ACから作られる正方形を加えたものは、ABとBC（を合わせた一つの線分）から作られるかのように記述された正方形に等しいと。
Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἐπʼ εὐθείας ἡ ΒΔ, καὶ κείσθω τῇ ΓΒ ἴση ἡ ΒΔ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΔ τετράγωνον τὸ ΑΕΖΔ, καὶ καταγεγράφθω διπλοῦν τὸ σχῆμα.
なぜなら、BDが一直線上に延長され、BDはCBに等しく置かれ、ADから正方形AEZDが記述され、図が二重に描かれたとする。
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΒΔ, ἀλλὰ ἡ μὲν ΓΒ τῇ ΗΚ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΒΔ τῇ ΚΝ, καὶ ἡ ΗΚ ἄρα τῇ ΚΝ ἐστιν ἴση.
したがって、CBはBDに等しく、一方CBはHKに等しく、BDはKNに等しいから、HKもKNに等しい。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΠΡ τῇ ΡΟ ἐστιν ἴση.
まさに同じ理由でPRもROに等しい。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΔ, ἡ δὲ ΗΚ τῇ ΚΝ, ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ μὲν ΓΚ τῷ ΚΔ, τὸ δὲ ΗΡ τῷ ΡΝ. ἀλλὰ τὸ ΓΚ τῷ ΡΝ ἐστιν ἴσον·
また、BCはBDに等しく、 HKはKNに等しいから、GKはKDに等しく、HRはRNに等しい。
παραπληρώματα γὰρ τοῦ ΓΟ παραλληλογράμμου·
しかし、GKはRNに等しい。 なぜなら平行四辺形GOの余形だからである。
καὶ τὸ ΚΔ ἄρα τῷ ΗΡ ἴσον ἐστίν·
したがって、KDもHRに等しい。
τὰ τέσσαρα ἄρα τὰ ΔΚ, ΓΚ, ΗΡ, ΡΝ ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
したがって、DK, GK, HR, RNの4つは互いに等しい。
τὰ τέσσαρα ἄρα τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ΓΚ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΒΔ, ἀλλὰ ἡ μὲν ΒΔ τῇ ΒΚ, τουτέστι τῇ ΓΗ ἴση, ἡ δὲ ΓΒ τῇ ΗΚ, τουτέστι τῇ ΗΠ, ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ΓΗ ἄρα τῇ ΗΠ ἴση ἐστίν.
したがって、これら 4つはGKの4倍である。 さらに、CBはBDに等しく、一方BDはBKに等しく、すなわちGHに等しく、CBはHKに等しく、すなわちHPに等しいから、GHもHPに等しい。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΓΗ τῇ ΗΠ, ἡ δὲ ΠΡ τῇ ΡΟ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ μὲν ΑΗ τῷ ΜΠ, τὸ δὲ ΠΛ τῷ ΡΖ. ἀλλὰ τὸ ΜΠ τῷ ΠΛ ἐστιν ἴσον·
そして、GHはHPに等しく、PRはROに等しいから、AHも MPに等しく、PLもRZに等しい。 しかし、MPはPLに等しい。
παραπληρώματα γὰρ τοῦ ΜΛ παραλληλογράμμου·
なぜなら平行四辺形MLの余形だからである。
καὶ τὸ ΑΗ ἄρα τῷ ΡΖ ἴσον ἐστίν·
したがって、AHもRZに等しい。
τὰ τέσσαρα ἄρα τὰ ΑΗ, ΜΠ, ΠΛ, ΡΖ ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
したがって、AH, MP, PL, RZの4つは互いに等しい。
τὰ τέσσαρα ἄρα τοῦ ΑΗ ἐστι τετραπλάσια.
したがって、これら4つはAHの4倍である。
ἐδείχθη δὲ καὶ τὰ τέσσαρα τὰ ΓΚ, ΚΔ, ΗΡ, ΡΝ τοῦ ΓΚ τετραπλάσια·
また、 GK, KD, HR, RNの4つもGKの4倍であると示された。
τὰ ἄρα ὀκτώ, ἃ περιέχει τὸν ΣΤΥ γνώμονα, τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ΑΚ. καὶ ἐπεὶ τὸ ΑΚ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ ἐστιν· ἴση γὰρ ἡ ΒΚ τῇ ΒΔ·
したがって、グノーモンSTYを構成するこれら8つのものは、AKの4倍である。 そして、AKはAB, BDによるものであるから（なぜならBKはBDに等しい）、したがってAB, BDによるものの4倍はAKの4倍である。
τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΚ. ἐδείχθη δὲ τοῦ ΑΚ τετραπλάσιος καὶ ὁ ΣΤΥ γνώμων·
また、グノーモンSTYもAKの4倍であると示された。
τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤΥ γνώμονι.
したがって、AB, BDによるものの4倍はグノーモンSTYに等しい。
κοινὸν προσκείσθω τὸ ΞΘ, ὅ ἐστιν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνῳ·
共通のXQが加えられたとせよ。 これはACから作られる正方形に等しい。
τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤΥ γνώμονι καὶ τῷ ΞΘ. ἀλλὰ ὁ ΣΤΥ γνώμων καὶ τὸ ΞΘ ὅλον ἐστὶ τὸ ΑΕΖΔ τετράγωνον, ὅ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΑΔ·
したがって、AB, BDによって囲まれる直角四辺形の4倍と、ACから作られる正方形との和は、グノーモンSTYとXQとの和に等しい。 しかし、グノーモンSTYとXQは全体としては正方形AEZDであり、それはADから作られるものである。
τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΑΔ τετραγώνῳ·
したがって、AB, BDによるものの4倍と、ACから作られる正方形との和は、ADから作られる正方形に等しい。
ἴση δὲ ἡ ΒΔ τῇ ΒΓ. τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ καὶ ΒΓ ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ.
そして、BDはBCに等しい。 したがって、AB, BCによって囲まれる直角四辺形の4倍と、ACから作られる正方形との和は、 ADから作られる正方形、すなわち、ABとBCとを合わせた一つの線分から作られるかのように記述された正方形に等しい。
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ τετράκις ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπό τε τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ·
したがって、もし直線が任意に分割されるならば、全体の直線と分割された線分の一方とによって囲まれる直角四辺形の4倍に、残りの線分から作られる正方形を加えたものは、全体の直線と前述の線分とを合わせた一つの線分から作られるかのように記述された正方形に等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。