§13.prop.15κύβον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν, ᾗ καὶ τὴν πυραμίδα, καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς.
立方体を構成し、ピラミッドの場合と同様に、与えられた球で囲むこと、そして、球の直径が、平方において、立方体の辺の3倍であることを示すこと。
Ἐκκείσθω ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ ὥστε διπλῆν εἶναι τὴν ΑΓ τῆς ΓΒ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ, καὶ ἐκκείσθω τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ ἴσην ἔχον τὴν πλευρὰν τῇ ΔΒ, καὶ ἀπὸ τῶν Ε, Ζ, Η, Θ τῷ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΕΚ, ΖΛ, ΗΜ, ΘΝ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ἑκάστης τῶν ΕΚ, ΖΛ, ΗΜ, ΘΝ μιᾷ τῶν ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ ἴση ἑκάστη τῶν ΕΚ, ΖΛ, ΗΜ, ΘΝ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΛ, ΛΜ, ΜΝ, ΝΚ·
与えられた球の直径ABが置かれているとし、 ACがGBの2倍であるようにCにおいて分けられるとせよ。 そして、ABの上に半円ADBが描かれ、CからABに対して直角にCDが引かれ、DBが結ばれるとせよ。 そして、その辺がDBに等しい正方形EZHThが置かれているとし、E, Z, H, Thから正方形EZHThの平面に対して直角にEK, ZL, HM, ThNが引かれるとせよ。 そして、EK, ZL, HM, ThNのそれぞれから、EZ, ZH, HTh, ThEのいずれか一つに等しい長さが切り取られるとせよ。 そして、KL, LM, MN, NKが結ばれるとせよ。
κύβος ἄρα συνέσταται ὁ ΖΝ ὑπὸ ἓξ τετραγώνων ἴσων περιεχόμενος.
したがって、6つの等しい正方形によって囲まれる立方体ZNが構成された。
δεῖ δὴ αὐτὸν καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασία ἐστὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ κύβου.
さて、それを与えられた球で囲み、かつ球の直径が、平方において、立方体の辺の3倍であることを示す必要がある。
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΚΗ, ΕΗ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΚΕΗ γωνία διὰ τὸ καὶ τὴν ΚΕ ὀρθὴν εἶναι πρὸς τὸ ΕΗ ἐπίπεδον δηλαδὴ καὶ πρὸς τὴν ΕΗ εὐθεῖαν, τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ΚΗ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ε σημείου.
なぜなら、KH, EHが結ばれるとせよ。 そして、KEは EHの平面に対して直角であり、それゆえ明らかに直線EHに対しても直角であることから、角KEHは直角であるから、したがってKHの上に描かれる半円は点Eをも通るであろう。
πάλιν, ἐπεὶ ἡ ΗΖ ὀρθή ἐστι πρὸς ἑκατέραν τῶν ΖΛ, ΖΕ, καὶ πρὸς τὸ ΖΚ ἄρα ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν ἡ ΗΖ·
再び、HZはZL, ZEのそれぞれに対して直角であるから、したがってHZは平面ZKに対しても直角である。
ὥστε καὶ ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΖΚ, ἡ ΗΖ ὀρθὴ ἔσται καὶ πρὸς τὴν ΖΚ·
それゆえ、もし私たちがZKを結ぶなら、HZは ZKに対しても直角であろう。
καὶ διὰ τοῦτο πάλιν τὸ ἐπὶ τῆς ΗΚ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ζ. ὁμοίως καὶ διὰ τῶν λοιπῶν τοῦ κύβου σημείων ἥξει.
そしてこの理由により、再びHKの上に描かれる半円はZをも通るであろう。 同様に、それは立方体の残りの各点をも通るであろう。
ἐὰν δὴ μενούσης τῆς ΚΗ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἔσται σφαίρᾳ περιειλημμένος ὁ κύβος.
したがって、もしKHが固定されたまま、半円が回転されて、動き始めたのと同じ位置に再び戻されるなら、立方体は球に内接することになる。
λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ δοθείσῃ.
さて、私はそれが与えられた球に内接することでもあると主張する。
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΖ τῇ ΖΕ, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ Ζ γωνία, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ. ἴση δὲ ἡ ΕΖ τῇ ΕΚ·
なぜなら、HZはZEに等しく、かつZにおける角は直角であるから、したがってEH上の正方形はEZ上の正方形の2倍である。 そして、EZはEKに等しい。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ·
したがって、EH上の正方形はEK上の正方形の2倍である。
ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΗΕ, ΕΚ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΗΚ, τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ. καὶ ἐπεὶ τριπλασίων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ, ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ, τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΕ τριπλάσιον.
それゆえ、HE, EK上の各正方形の和、すなわちHK上の正方形は、EK上の正方形の3倍である。 そして、ABはBCの3倍であり、ABがBCに対する比は、AB上の正方形がBD上の正方形に対する比と同じであるから、したがってAB上の正方形はBD上の正方形の3倍である。 そして、HK上の正方形もKE上の正方形の3倍であると示された。
καὶ κεῖται ἴση ἡ ΚΕ τῇ ΔΒ·
そして、 KEはDBに等しく置かれている。
ἴση ἄρα καὶ ἡ ΚΗ τῇ ΑΒ. καί ἐστιν ἡ ΑΒ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος·
したがって、KHもABに等しい。 ゆえに ΚΗ もまた ΑΒ に等しい。そして、ΑΒ は与えられた球の直径である。
καὶ ἡ ΚΗ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τῆς δοθείσης σφαίρας διαμέτρῳ.
したがって、KHは与えられた球の直径に等しい。
τῇ δοθείσῃ ἄρα σφαίρᾳ περιείληπται ὁ κύβος·
したがって、立方体は与えられた球に内接した。
καὶ συναποδέδεικται, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς·
そして、球の直径が、平方において、立方体の辺の3倍であることも同時に示された。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。