§13.prop.16#1εἰκοσάεδρον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν, ᾗ καὶ τὰ προειρημένα σχήματα, καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων.
正二十面体を構成し、前述の諸立体と同様に、球で囲むこと、そして、正二十面体の辺が、いわゆる「より小さい」無理線であることを示すこと。
Ἐκκείσθω ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ ὥστε τετραπλῆν εἶναι τὴν ΑΓ τῆς ΓΒ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ, καὶ ἐκκείσθω κύκλος ὁ ΕΖΗΘΚ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἔστω τῇ ΔΒ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗΘΚ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΕΖΗΘΚ, καὶ τετμήσθωσαν αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΚ, ΚΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Λ, Μ, Ν, Ξ, Ο σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΜ, ΜΝ, ΝΞ, ΞΟ, ΟΛ, ΕΟ. ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΛΜΝΞΟ πεντάγωνον, καὶ δεκαγώνου ἡ ΕΟ εὐθεῖα.
与えられた球の直径ABが置かれているとし、 ACがGBの4倍であるようにCにおいて分けられるとせよ。 そして、ABの上に半円ADBが描かれ、CからABに対して直角に直線CDが引かれ、DBが結ばれるとせよ。 そして、その半径がDBに等しい円EZHThKが置かれているとし、円EZHThKに等辺かつ等角の五角形EZHThKが内接させられるとせよ。 そして、弧EZ, ZH, HTh, ThK, KEが、点L, M, N, Xi, Oにおいて2等分されるとせよ。 Rust, LM, MN, NXi, XiO, OL, EOが結ばれるとせよ。 したがって、五角形LMNOXiも等辺であり、直線EOは十角形の辺である。
καὶ ἀνεστάτωσαν ἀπὸ τῶν Ε, Ζ, Η, Θ, Κ σημείων τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαι αἱ ΕΠ, ΖΡ, ΗΣ, ΘΤ, ΚΥ ἴσαι οὖσαι τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΠΡ, ΡΣ, ΣΤ, ΤΥ, ΥΠ, ΠΛ, ΛΡ, ΡΜ, ΜΣ, ΣΝ, ΝΤ, ΤΞ, ΞΥ, ΥΟ, ΟΠ. καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΕΠ, ΚΥ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΠ τῇ ΚΥ. ἔστι δὲ αὐτῇ καὶ ἴση·
そして、E, Z, H, Th, Kの各点から、円の平面に対して直角に、円EZHThKの半径に等しい直線EP, ZR, HS, TT, KYが立てられるとせよ。 そして、PR, RS, ST, TY, YP, PL, LR, RM, MS, SN, NT, TXi, XiY, YO, OPが結ばれるとせよ。 そして、EP, KYのそれぞれは同じ平面に対して直角であるから、したがってEPはKYに平行である。 かつ、それはこれに等しい。
αἱ δὲ τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπιζευγνύουσαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη εὐθεῖαι ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν.
そして、等しくかつ平行な直線を同じ側に結ぶ直線は、等しくかつ平行である。
ἡ ΠΥ ἄρα τῇ ΕΚ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν.
したがって、 PYはEKに等しくかつ平行である。
πενταγώνου δὲ ἰσοπλεύρου ἡ ΕΚ·
ところで、EKは等辺五角形の辺である。
πενταγώνου ἄρα ἰσοπλεύρου καὶ ἡ ΠΥ τοῦ εἰς τὸν ΕΖΗΘΚ κύκλον ἐγγραφομένου.
したがって、PYも円EZHThKに内接する等辺五角形の辺である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάστη τῶν ΠΡ, ΡΣ, ΣΤ, ΤΥ πενταγώνου ἐστὶν ἰσοπλεύρου τοῦ εἰς τὸν ΕΖΗΘΚ κύκλον ἐγγραφομένου·
同じ理由によって、PR, RS, ST, TYのそれぞれも、円EZHThKに内接する等辺五角形の辺である。
ἰσόπλευρον ἄρα τὸ ΠΡΣΤΥ πεντάγωνον.
したがって、五角形PRSTYは等辺である。
καὶ ἐπεὶ ἑξαγώνου μέν ἐστιν ἡ ΠΕ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΕΟ, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΠΕΟ, πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΠΟ·
そして、PEは六角形の辺であり、EOは十角形の辺であり、かつ角PEOは直角であるから、したがってPOは五角形の辺である。
ἡ γὰρ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων.
なぜなら、同じ円に内接する五角形の辺は、平方において、六角形の辺と十角形の辺の和に等しいからである。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΟΥ πενταγώνου ἐστὶ πλευρά.
同じ理由によって、OYも五角形の辺である。
ἔστι δὲ καὶ ἡ ΠΥ πενταγώνου·
そして、PYも五角形の辺である。
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΠΟΥ τρίγωνον.
したがって、三角形POYは正三角形である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἕκαστον τῶν ΠΛΡ, ΡΜΣ, ΣΝΤ, ΤΞΥ ἰσόπλευρόν ἐστιν.
同じ理由によって、PLR, RMS, SNT, TXiYのそれぞれも正三角形である。
καὶ ἐπεὶ πενταγώνου ἐδείχθη ἑκατέρα τῶν ΠΛ, ΠΟ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ΛΟ πενταγώνου, ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΠΛΟ τρίγωνον.
そして、PL, POのそれぞれが五角形の辺であると示され、LOも五角形の辺であるから、したがって三角形PLOは正三角形である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἕκαστον τῶν ΛΡΜ, ΜΣΝ, ΝΤΞ, ΞΥΟ τριγώνων ἰσόπλευρόν ἐστιν.
同じ理由によって、三角形LRM, MSN, NTXi, XiYOのそれぞれも正三角形である。
εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΕΖΗ ΘΚ κύκλου τὸ Φ σημεῖον·
円EZHThKの中心として点Phiが取られるとせよ。
καὶ ἀπὸ τοῦ Φ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτω ἡ ΦΩ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη ὡς ἡ ΦΨ, καὶ ἀφῃρήσθω ἑξαγώνου μὲν ἡ ΦΧ, δεκαγώνου δὲ ἑκατέρα τῶν ΦΨ, ΧΩ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΠΩ, ΠΧ, ΥΩ, ΕΦ, ΛΦ, ΛΨ, ΨΜ. καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΦΧ, ΠΕ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΦΧ τῇ ΠΕ. εἰσὶ δὲ καὶ ἴσαι·
そして、Phiから円の平面に対して直角にPhiOmegaが立てられるとせよ。 そして、それは他方の側へPhiPsiとして延長されるとせよ。 そして、PhiChiは六角形の辺、PhiPsi, ChiOmegaのそれぞれは十角形の辺として切り取られるとせよ。 そして、POmega, PChi, YOmega, EPhi, LPhi, LPsi, PsiMが結ばれるとせよ。 そして、PhiChi, PEのそれぞれは円の平面に対して直角であるから、したがってPhiChiはPEに平行である。 かつ、それらは等しい。
καὶ αἱ ΕΦ, ΠΧ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν.
したがって、EPhi, PChiも等しくかつ平行である。
ἑξαγώνου δὲ ἡ ΕΦ·
ところで、EPhiは六角形の辺である。
ἑξαγώνου ἄρα καὶ ἡ ΠΧ. καὶ ἐπεὶ ἑξαγώνου μέν ἐστιν ἡ ΠΧ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΧΩ, καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΠΧΩ γωνία, πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΠΩ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΥΩ πενταγώνου ἐστίν, ἐπειδήπερ, ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὰς ΦΚ, ΧΥ, ἴσαι καὶ ἀπεναντίον ἔσονται, καί ἐστιν ἡ ΦΚ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα ἑξαγώνου·
したがって、PChiも六角形の辺である。 そして、PChiは六角形の辺であり、ChiOmegaは十角形の辺であり、かつ角PChiOmegaは直角であるから、したがってPOmegaは五角形の辺である。 同じ理由によって、YOmegaも五角形の辺である。 なぜなら、もし PhiK, XYを結ぶなら、それらは等しくかつ向かい合うことになり、かつPhiKは半径であって六角形の辺であるから、したがってXYも六角形の辺である。
ἑξαγώνου ἄρα καὶ ἡ ΧΥ. δεκαγώνου δὲ ἡ ΧΩ, καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΥΧΩ·
ところで、ChiOmegaは十角形の辺であり、角YChiOmegaは直角である。
πενταγώνου ἄρα ἡ ΥΩ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΠΥ πενταγώνου·
したがって、YOmegaは五角形の辺である。 そして、ΠΥ も五角形の辺である。
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΠΥΩ τρίγωνον.
したがって、三角形PYOmegaは正三角形である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἕκαστον τῶν λοιπῶν τριγώνων, ὧν βάσεις μέν εἰσιν αἱ ΠΡ, ΡΣ, ΣΤ, ΤΥ εὐθεῖαι, κορυφὴ δὲ τὸ Ω σημεῖον, ἰσόπλευρόν ἐστιν.
同じ理由によって、残りの三角形、すなわちPR, RS, ST, TYという直線を底辺とし、点Omegaを頂点とするそれぞれの三角形も正三角形である。
πάλιν, ἐπεὶ ἑξαγώνου μὲν ἡ ΦΛ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΦΨ, καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΛΦΨ γωνία, πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΨ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΜΦ οὖσαν ἑξαγώνου, συνάγεται καὶ ἡ ΜΨ πενταγώνου.
再び、PhiLは六角形の辺であり、PhiPsiは十角形の辺であり、かつ角LPhiPsiは直角であるから、したがってLPsiは五角形の辺である。 同じ理由によって、もし六角形の辺であるMPhiを結ぶなら、MPsiも五角形の辺であることが推論される。
ἔστι δὲ καὶ ἡ ΛΜ πενταγώνου·
そして、LMも五角形の辺である。
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΜΨ τρίγωνον.
したがって、三角形LMPsiは正三角形である。
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἕκαστον τῶν λοιπῶν τριγώνων, ὧν βάσεις μέν εἰσιν αἱ ΜΝ, ΝΞ, ΞΟ, ΟΛ, κορυφὴ δὲ τὸ Ψ σημεῖον, ἰσόπλευρόν ἐστιν.
同様に、残りの三角形、すなわちMN, NXi, XiO, OLを底辺とし、点Psiを頂点とするそれぞれの三角形も正三角形であることが示されるであろう。
συνέσταται ἄρα εἰκοσάεδρον ὑπὸ εἴκοσι τριγώνων ἰσοπλεύρων περιεχόμενον.
したがって、20個の正三角形によって囲まれる正二十面体が構成された。