§13.prop.15κύβον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν, ᾗ καὶ τὴν πυραμίδα, καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς.
정육면체를 구성하고 정사면체의 경우와 같이 구로 둘러싸는 것, 그리고 구의 지름이 제곱에 있어서 정육면체의 한 변의 3배임을 보여주는 것.
Ἐκκείσθω ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ ὥστε διπλῆν εἶναι τὴν ΑΓ τῆς ΓΒ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ, καὶ ἐκκείσθω τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ ἴσην ἔχον τὴν πλευρὰν τῇ ΔΒ, καὶ ἀπὸ τῶν Ε, Ζ, Η, Θ τῷ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΕΚ, ΖΛ, ΗΜ, ΘΝ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ἑκάστης τῶν ΕΚ, ΖΛ, ΗΜ, ΘΝ μιᾷ τῶν ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ ἴση ἑκάστη τῶν ΕΚ, ΖΛ, ΗΜ, ΘΝ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΛ, ΛΜ, ΜΝ, ΝΚ·
주어진 구의 지름 AB가 놓여 있다고 하고, AC가 GB의 2배가 되도록 C에서 나누어지게 하라. 그리고 AB 위에 반원 ADB가 그려지게 하고, C로부터 AB에 직각으로 CD가 그어지게 하고, DB가 연결되게 하라. 그리고 그 변이 DB와 같은 정사각형 EZHTh가 놓여 있다고 하고, E, Z, H, Th로부터 정사각형 EZHTh의 평면에 직각으로 EK, ZL, HM, ThN이 그어지게 하라. 그리고 EK, ZL, HM, ThN 각각으로부터 EZ, ZH, HTh, ThE 중 하나와 같도록 EK, ZL, HM, ThN 각각이 잘려 나가게 하라. 그리고 KL, LM, MN, NK가 연결되게 하라.
κύβος ἄρα συνέσταται ὁ ΖΝ ὑπὸ ἓξ τετραγώνων ἴσων περιεχόμενος.
그러므로 여섯 개의 같은 정사각형으로 둘러싸인 정육면체 ZN이 구성되었다.
δεῖ δὴ αὐτὸν καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασία ἐστὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ κύβου.
이제 그것을 주어진 구로 둘러싸고, 구의 지름이 제곱에 있어서 정육면체의 한 변의 3배임을 보여야 한다.
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΚΗ, ΕΗ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΚΕΗ γωνία διὰ τὸ καὶ τὴν ΚΕ ὀρθὴν εἶναι πρὸς τὸ ΕΗ ἐπίπεδον δηλαδὴ καὶ πρὸς τὴν ΕΗ εὐθεῖαν, τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ΚΗ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ε σημείου.
왜냐하면 KH, EH가 연결되게 하라. 그리고 KE는 EH의 평면에 직각이고, 따라서 분명히 직선 EH에 대해서도 직각이므로 각 KEH는 직각이므로, 그러므로 KH 위에 그려진 반원은 점 E도 지나갈 것이다.
πάλιν, ἐπεὶ ἡ ΗΖ ὀρθή ἐστι πρὸς ἑκατέραν τῶν ΖΛ, ΖΕ, καὶ πρὸς τὸ ΖΚ ἄρα ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν ἡ ΗΖ·
다시, HZ는 ZL, ZE 각각에 직각이므로, 그러므로 HZ는 평면 ZK에도 직각이다.
ὥστε καὶ ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΖΚ, ἡ ΗΖ ὀρθὴ ἔσται καὶ πρὸς τὴν ΖΚ·
그리하여 만약 우리가 ZK를 연결한다면, HZ는 ZK에 대해서도 직각일 것이다.
καὶ διὰ τοῦτο πάλιν τὸ ἐπὶ τῆς ΗΚ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ζ. ὁμοίως καὶ διὰ τῶν λοιπῶν τοῦ κύβου σημείων ἥξει.
그리고 이 이유 때문에 다시 HK 위에 그려진 반원은 Z도 지나갈 것이다. 이와 같이 그것은 정육면체의 나머지 점들도 지나갈 것이다.
ἐὰν δὴ μενούσης τῆς ΚΗ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἔσται σφαίρᾳ περιειλημμένος ὁ κύβος.
만약 KH가 고정된 채로 반원이 회전하여 움직이기 시작한 바로 그 위치로 다시 돌아온다면, 정육면체는 구에 내접하게 될 것이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ δοθείσῃ.
이제 나는 그것이 주어진 구이기도 하다고 말한다.
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΖ τῇ ΖΕ, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ Ζ γωνία, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ. ἴση δὲ ἡ ΕΖ τῇ ΕΚ·
왜냐하면 HZ는 ZE와 같고, Z에서의 각은 직각이므로, 그러므로 EH 위의 정사각형은 EZ 위의 정사각형의 2배이다. 그리고 EZ는 EK와 같다.
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ·
그러므로 EH 위의 정사각형은 EK 위의 정사각형의 2배이다.
ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΗΕ, ΕΚ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΗΚ, τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ. καὶ ἐπεὶ τριπλασίων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ, ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ, τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΕ τριπλάσιον.
그리하여 HE, EK 위의 정사각형들, 즉 HK 위의 정사각형은 EK 위의 정사각형의 3배이다. 그리고 AB는 BC의 3배이고, AB 대 BC의 비는 AB 위의 정사각형 대 BD 위의 정사각형의 비와 같으므로, 그러므로 AB 위의 정사각형은 BD 위의 정사각형의 3배이다. 그리고 HK 위의 정사각형도 KE 위의 정사각형의 3배임이 밝혀졌다.
καὶ κεῖται ἴση ἡ ΚΕ τῇ ΔΒ·
그리고 KE는 DB와 같게 놓였다.
ἴση ἄρα καὶ ἡ ΚΗ τῇ ΑΒ. καί ἐστιν ἡ ΑΒ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος·
그러므로 KH도 AB와 같다. 그리고 AB는 주어진 구의 지름이다.
καὶ ἡ ΚΗ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τῆς δοθείσης σφαίρας διαμέτρῳ.
그러므로 KH는 주어진 구의 지름과 같다.
τῇ δοθείσῃ ἄρα σφαίρᾳ περιείληπται ὁ κύβος·
그러므로 정육면체는 주어진 구에 내접하였다.
καὶ συναποδέδεικται, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς·
그리고 구의 지름이 제곱에 있어서 정육면체의 한 변의 3배임이 동시에 증명되었다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.