§13.prop.14ὀκτάεδρον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν, ᾗ καὶ τὰ πρότερα, καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει διπλασία ἐστὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ ὀκταέδρου.
正八面体を構成し、前の場合と同様に、与えられた球で囲むこと、そして、球の直径が、平方において、正八面体の辺の2倍であることを示すこと。
Ἐκκείσθω ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ, καὶ ἐκκείσθω τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ ἴσην ἔχον ἑκάστην τῶν πλευρῶν τῇ ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΖ, ΕΗ, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Κ σημείου τῷ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖα ἡ ΚΛ καὶ διήχθω ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τοῦ ἐπιπέδου ὡς ἡ ΚΜ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀφʼ ἑκατέρας τῶν ΚΛ, ΚΜ μιᾷ τῶν ΕΚ, ΖΚ, ΗΚ, ΘΚ ἴση ἑκατέρα τῶν ΚΛ, ΚΜ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΕ, ΛΖ, ΛΗ, ΛΘ, ΜΕ, ΜΖ, ΜΗ, ΜΘ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΕ τῇ ΚΘ, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΕΚΘ γωνία, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΘΕ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΚ τῇ ΚΕ, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΛΚΕ γωνία, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΛ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΕΚ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΕ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ·
与えられた球の直径ABが置かれているとし、 Cにおいて2等分されるとせよ。 そして、ABの上に半円ADBが描かれ、CからABに対して直角にCDが引かれ、DBが結ばれるとせよ。 そして、その各辺が DBに等しい正方形EZHThが置かれているとし、ThZ, EHが結ばれるとせよ。 そして、点Kから正方形EZHThの平面に対して直角に直線KLが立てられ、平面の他方の側へとKMとして延長されるとせよ。 そして、KL, KMのそれぞれから、EK, ZK, HK, ThKのいずれか一つに等しい長さが切り取られるとせよ。 そして、LE, LZ, LH, LTh, ME, MZ, MH, MThが結ばれるとせよ。 そして、KEはKThに等しく、かつ角EKThは直角であるから、したがってThE上の正方形はEK上の正方形の2倍である。 再び、LKはKEに等しく、かつ角LKEは直角であるから、したがってEL上の正方形はEK上の正方形の2倍である。 そして、ThE上の正方形もEK上の正方形の2倍であると示された。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΛΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΘ·
したがって、LE上の正方形は ETh上の正方形に等しい。
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΕ τῇ ΕΘ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΛΘ τῇ ΘΕ ἐστιν ἴση·
したがって、LEはEThに等しい。 まさに同じ理由により、LThもThEに等しい。
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΕΘ τρίγωνον.
したがって、三角形LEThは正三角形である。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἕκαστον τῶν λοιπῶν τριγώνων, ὧν βάσεις μέν εἰσιν αἱ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου πλευραί, κορυφαὶ δὲ τὰ Λ, Μ σημεῖα, ἰσόπλευρόν ἐστιν·
同様に、残りの三角形のそれぞれ（それらの底辺は正方形EZHThの辺であり、頂点は点L, Mである）もまた、正三角形であることを私たちは示すであろう。
ὀκτάεδρον ἄρα συνέσταται ὑπὸ ὀκτὼ τριγώνων ἰσοπλεύρων περιεχόμενον.
したがって、8つの正三角形によって囲まれる八面体が構成された。
δεῖ δὴ αὐτὸ καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει διπλασίων ἐστὶ τῆς τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς.
さて、それを与えられた球で囲み、かつ球の直径が、平方において、八面体の辺の2倍であることを示す必要がある。
ἐπεὶ γὰρ αἱ τρεῖς αἱ ΛΚ, ΚΜ, ΚΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ΛΜ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ε. καὶ διὰ τὰ αὐτά, ἐὰν μενούσης τῆς ΛΜ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἥξει καὶ διὰ τῶν Ζ, Η, Θ σημείων, καὶ ἔσται σφαίρᾳ περιειλημμένον τὸ ὀκτάεδρον.
なぜなら、3つの直線LK, KM, KEは互いに等しいから、したがってLMの上に描かれる半円はEをも通るであろう。 そして同じ理由により、もしLMが固定されたまま、半円が回転されて、動き始めたのと同じ位置に再び戻されるなら、それはZ, H, Thの各点をも通るであろう。 そして、八面体は球に内接することになる。
λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ δοθείσῃ.
さて、私はそれが与えられた球に内接することでもあると主張する。
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΚ τῇ ΚΜ, κοινὴ δὲ ἡ ΚΕ, καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΛΕ βάσει τῇ ΕΜ ἐστιν ἴση.
なぜなら、LKはKMに等しく、KEは共通であり、かつそれらは直角を挟んでいるから、したがって底辺LEは底辺EMに等しい。
καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΛΕΜ γωνία· ἐν ἡμικυκλίῳ γάρ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΛΜ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΕ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, διπλασία ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ. ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ·
そして、角LEMは直角であるから（なぜなら、半円の中にあるから）、したがってLM上の正方形は LE上の正方形の2倍である。 再び、ACはGBに等しいから、ABはBCの2倍である。 そして、ABがBCに対する比は、AB上の正方形がBD上の正方形に対する比と同じである。
διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΜ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΕ. καί ἐστιν ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΛΕ· ἴση γὰρ κεῖται ἡ ΕΘ τῇ ΔΒ. ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΛΜ·
したがって、AB上の正方形はBD上の正方形の2倍である。 そして、LM上の正方形もLE上の正方形の2倍であると示された。 そして、 DB上の正方形はLE上の正方形に等しい。 なぜなら、EThはDBに等しく置かれているからである。 したがって、AB上の正方形もLM上の正方形に等しい。
ἴση ἄρα ἡ ΑΒ τῇ ΛΜ. καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος·
したがって、ABはLMに等しい。 そして、ABは与えられた球の直径である。
ἡ ΛΜ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τῆς δοθείσης σφαίρας διαμέτρῳ.
したがって、LMは与えられた球の直径に等しい。
περιείληπται ἄρα τὸ ὀκτάεδρον τῇ δοθείσῃ σφαίρᾳ.
したがって、正八面体は与えられた球に内接した。
καὶ συναποδέδεικται, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει διπλασίων ἐστὶ τῆς τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς·
そして、球の直径が、平方において、正八面体の辺の2倍であることも同時に示された。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。