§13.prop.11#2ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓΜ ὡς μιᾶς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΜ, οὕτως ἐδείχθη τὸ ἀπὸ τῆς ΜΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ·
そして、1つの直線としてのDGとGMの和の上の正方形がGM上の正方形に対するように、MK上の正方形がKF 上の正方形に対するということが示された。
πενταπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΜΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΖ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ·
したがって、MK上の正方形はKF上の正方形の5倍である。 そしてKF上の正方形は有理である。
ῥητὴ γὰρ ἡ διάμετρος·
なぜなら直径が有理だからである。
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΜΚ·
したがってMK上の正方形も有理である。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΚ.
したがってMKは有理である。
καὶ ἐπεὶ τετραπλασία ἐστὶν ἡ ΒΖ τῆς ΖΚ, πενταπλασία ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῆς ΚΖ·
そして、BFがFKの4倍であるから、したがってBKはKFの5倍である。
εἰκοσιπενταπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΖ. πενταπλάσιον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΜΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΖ·
したがって、BK 上の正方形はKF上の正方形の25倍である。 そして、MK上の正方形はKF上の正方形の5倍であるから、したがってBK上の正方形はKM上の正方形の5倍である。
πενταπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΜ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΜ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって、BK上の正方形がKM上の正方形に対する比は、平方数に対する平方数の比を持たない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῇ ΚΜ μήκει.
したがって、BK はKMと長さにおいて非通約である。
καί ἐστι ῥητὴ ἑκατέρα αὐτῶν.
そして、それらの各々は有理である。
αἱ ΒΚ, ΚΜ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
したがって、BKとKMは、平方においてのみ通約である有理線である。
ἐὰν δὲ ἀπὸ ῥητῆς ῥητὴ ἀφαιρεθῇ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν ἀποτομή·
そして、有理線から、全体と平方においてのみ通約である有理線が引かれるならば、残りは「背理線（無理線）」である「双対（アポトメー）」である。
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΒ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΜΚ. λέγω δή, ὅτι καὶ τετάρτη.
したがって、MBは双対であり、これに適合する線はMKである。 私はさらに、これが第4の双対でもあると主張する。
ᾧ δὴ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΜ, ἐκείνῳ ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Ν·
いま、BK上の正方形がKM上の正方形よりも大きい分だけ、それ（その差）に等しい正方形をNの上の正方形とせよ。
ἡ ΒΚ ἄρα τῆς ΚΜ μεῖζον δύναται τῇ Ν. καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΚΖ τῇ ΖΒ, καὶ συνθέντι σύμμετρός ἐστιν ἡ ΚΒ τῇ ΖΒ. ἀλλὰ ἡ ΒΖ τῇ ΒΘ σύμμετρός ἐστιν·
したがって、BKはKMよりもN（の上の正方形）だけ平方において大きい。 そして、KFはFBと通約であり、合比をとると、KBはFBと通約である。 しかし、BFはBThと通約である。
καὶ ἡ ΒΚ ἄρα τῇ ΒΘ σύμμετρός ἐστιν.
したがってまた、BKはBThと通約である。
καὶ ἐπεὶ πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΜ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΜ λόγον ἔχει, ὃν ε πρὸς ἕν.
そして、BK上の正方形はKM上の正方形の5倍であるから、したがって、BK上の正方形がKM上の正方形に対する比は、5が1に対する比である。
ἀναστρέψαντι ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ν λόγον ἔχει, ὃν ε πρὸς δ, οὐχ ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον·
したがって、逆比をとると、BK上の正方形がN上の正方形に対する比は、5が4に対する比であり、平方数に対する平方数の比ではない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῇ Ν·
したがって、BKはNと非通約である。
ἡ ΒΚ ἄρα τῆς ΚΜ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
したがって、 BKはKMよりも、自身と非通約な線（の上の正方形）だけ平方において大きい。
ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ΒΚ τῆς προσαρμοζούσης τῆς ΚΜ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ὅλη ἡ ΒΚ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΒΘ, ἀποτομὴ ἄρα τετάρτη ἐστὶν ἡ ΜΒ. τὸ δὲ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς τετάρτης περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν, καλεῖται δὲ ἐλάττων.
それゆえ、全体のBKが、適合する線KMよりも、自身と非通約な線の上の正方形だけ平方において大きく、かつ全体BKが、与えられた有理線BThと通約であるから、したがってMBは第4の双対である。 そして、有理線と第4 の双対に囲まれた長方形は無理であり、その一辺は無理線であり、「より小さい」と呼ばれる。
δύναται δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΘΒΜ ἡ ΑΒ διὰ τὸ ἐπιζευγνυμένης τῆς ΑΘ ἰσογώνιον γίνεσθαι τὸ ΑΒΘ τρίγωνον τῷ ΑΒΜ τριγώνῳ καὶ εἶναι ὡς τὴν ΘΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΒΜ.
ἡ ἄρα ΑΒ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων·
そして、AThを結ぶと、三角形ABThが三角形ABMと等角になり、ThBがBAに対するように ABがBMに対するようになるので、ThBとBMに囲まれた長方形はABの上の正方形に等しい。 したがって、五角形の辺であるABは「より小さい」と呼ばれる無理線である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。