§13.prop.11#2ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓΜ ὡς μιᾶς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΜ, οὕτως ἐδείχθη τὸ ἀπὸ τῆς ΜΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ·
그리고 하나의 직선으로서 DG와 GM의 합 위의 정사각형이 GM 위의 정사각형에 대한 비는 MK 위의 정사각형이 KF 위의 정사각형에 대한 비와 같음이 증명되었다.
πενταπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΜΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΖ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ·
그러므로 MK 위의 정사각형은 KF 위의 정사각형의 5배이다. 그런데 KF 위의 정사각형은 유리수이다.
ῥητὴ γὰρ ἡ διάμετρος·
왜냐하면 지름이 유리수이기 때문이다.
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΜΚ·
그러므로 MK 위의 정사각형도 유리수이다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΚ.
그러므로 MK는 유리수이다.
καὶ ἐπεὶ τετραπλασία ἐστὶν ἡ ΒΖ τῆς ΖΚ, πενταπλασία ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῆς ΚΖ·
그리고 BF가 FK의 4배이므로, 그러므로 BK는 KF의 5배이다.
εἰκοσιπενταπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΖ. πενταπλάσιον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΜΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΖ·
그러므로 BK 위의 정사각형은 KF 위의 정사각형의 25배이다. 그런데 MK 위의 정사각형은 KF 위의 정사각형의 5배이므로, 그러므로 BK 위의 정사각형은 KM 위의 정사각형의 5배이다.
πενταπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΜ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΜ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 BK 위의 정사각형이 KM 위의 정사각형에 대한 비는 제곱수와 제곱수의 비를 가지지 않는다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῇ ΚΜ μήκει.
그러므로 BK는 KM과 길이에 있어서 통약 불가능하다.
καί ἐστι ῥητὴ ἑκατέρα αὐτῶν.
그리고 그것들 각각은 유리수이다.
αἱ ΒΚ, ΚΜ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
그러므로 BK와 KM은 제곱에 있어서만 통약 가능한 유리선들이다.
ἐὰν δὲ ἀπὸ ῥητῆς ῥητὴ ἀφαιρεθῇ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν ἀποτομή·
그런데 유리선에서 전체와 제곱에 있어서만 통약 가능한 유리선을 빼면, 나머지는 무리선인 ‘쌍대선(아포토메)’이다.
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΒ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΜΚ. λέγω δή, ὅτι καὶ τετάρτη.
그러므로 MB는 쌍대선이고, MK는 여기에 적합한 선이다. 이제 나는 그것이 또한 제4 쌍대선이라고 주장한다.
ᾧ δὴ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΜ, ἐκείνῳ ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Ν·
BK 위의 정사각형이 KM 위의 정사각형보다 큰 만큼의 정사각형을 N 위의 정사각형이라 하자.
ἡ ΒΚ ἄρα τῆς ΚΜ μεῖζον δύναται τῇ Ν. καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΚΖ τῇ ΖΒ, καὶ συνθέντι σύμμετρός ἐστιν ἡ ΚΒ τῇ ΖΒ. ἀλλὰ ἡ ΒΖ τῇ ΒΘ σύμμετρός ἐστιν·
그러므로 BK는 KM보다 N 위의 정사각형만큼 제곱에 있어서 더 크다. 그리고 KF는 FB와 통약 가능하며, 합비를 취하면 KB도 FB와 통약 가능하다. 그런데 BF는 BTh와 통약 가능하다.
καὶ ἡ ΒΚ ἄρα τῇ ΒΘ σύμμετρός ἐστιν.
그러므로 BK도 BTh와 통약 가능하다.
καὶ ἐπεὶ πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΜ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΜ λόγον ἔχει, ὃν ε πρὸς ἕν.
그리고 BK 위의 정사각형은 KM 위의 정사각형의 5배이므로, 그러므로 BK 위의 정사각형이 KM 위의 정사각형에 대한 비는 5 대 1의 비를 가진다.
ἀναστρέψαντι ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ν λόγον ἔχει, ὃν ε πρὸς δ, οὐχ ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον·
그러므로 역비를 취하면, BK 위의 정사각형이 N 위의 정사각형에 대한 비는 5 대 4의 비를 가지며, 이는 제곱수와 제곱수의 비가 아니다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῇ Ν·
그러므로 BK는 N과 통약 불가능하다.
ἡ ΒΚ ἄρα τῆς ΚΜ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
그러므로 BK는 KM보다 자신과 통약 불가능한 선 위의 정사각형만큼 제곱에 있어서 더 크다.
ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ΒΚ τῆς προσαρμοζούσης τῆς ΚΜ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ὅλη ἡ ΒΚ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΒΘ, ἀποτομὴ ἄρα τετάρτη ἐστὶν ἡ ΜΒ. τὸ δὲ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς τετάρτης περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν, καλεῖται δὲ ἐλάττων.
따라서 전체 BK가 부선 KM보다 자신과 통약 불가능한 선 위의 정사각형만큼 제곱에 있어서 더 크고, 전체 BK가 주어진 유리선 BTh와 통약 가능하므로, 그러므로 MB는 제4 쌍대선이다. 그런데 유리선과 제4 쌍대선으로 둘러싸인 직사각형은 무리수이고, 그것의 평방근은 무리선이며, ‘극소선’이라 불린다.
δύναται δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΘΒΜ ἡ ΑΒ διὰ τὸ ἐπιζευγνυμένης τῆς ΑΘ ἰσογώνιον γίνεσθαι τὸ ΑΒΘ τρίγωνον τῷ ΑΒΜ τριγώνῳ καὶ εἶναι ὡς τὴν ΘΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΒΜ.
ἡ ἄρα ΑΒ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων·
그런데 ThB와 BM으로 둘러싸인 직사각형은 AB 위의 정사각형과 같은데, 왜냐하면 ATh를 이으면 삼각형 ABTh가 삼각형 ABM과 닮음이 되고, ThB가 BA에 대한 비는 AB가 BM에 대한 비와 같아지기 때문이다. 그러므로 오각형의 한 변 AB는 이른바 ‘극소선’이라 불리는 무리선이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.