§13.prop.11#1ἐὰν εἰς κύκλον ῥητὴν ἔχοντα τὴν διάμετρον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων.
有理な直径を持つ円に等辺五角形が内接するならば、五角形の辺は「より小さい」と呼ばれる無理線である。
εἰς γὰρ κύκλον τὸν ΑΒΓΔΕ ῥητὴν ἔχοντα τὴν διάμετρον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγεγράφθω τὸ ΑΒΓΔΕ·
なぜなら、有理な直径を持つ円ABCDEに等辺五角形ABCDEが内接しているとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων.
私は、五角形の辺は「より小さい」と呼ばれる無理線であると主張する。
εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΒ καὶ διήχθωσαν ἐπὶ τὰ Η, Θ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ, καὶ κείσθω τῆς ΑΖ τέταρτον μέρος ἡ ΖΚ. ῥητὴ δὲ ἡ ΑΖ·
なぜなら、円の中心を点Fとし、AF, FBを結んで点H, Thまで延長せよ。 そしてAGを結び、AFの4分の1に等しくFKをとれ。 そしてAFは有理である。
ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΖΚ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΖ ῥητή·
したがってFKも有理である。 またBFも有理である。
ὅλη ἄρα ἡ ΒΚ ῥητή ἐστιν.
したがって全体BKは有理である。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓΗ περιφέρεια τῇ ΑΔΗ περιφερείᾳ, ὧν ἡ ΑΒΓ τῇ ΑΕΔ ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΗ λοιπῇ τῇ ΗΔ ἐστιν ἴση.
そして、弧AGHは弧ADHに等しく、それらのうち弧ABGは弧AEDに等しいので、したがって残りのGHは残りのHDに等しい。
καὶ ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΑΔ, συνάγονται ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Λ γωνίαι, καὶ διπλῆ ἡ ΓΔ τῆς ΓΛ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ πρὸς τῷ Μ ὀρθαί εἰσιν, καὶ διπλῆ ἡ ΑΓ τῆς ΓΜ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΛΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΜΖ, κοινὴ δὲ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΓΛ καὶ τοῦ ΑΜΖ ἡ ὑπὸ ΛΑΓ, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΛ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΜΖΑ ἐστιν ἴση·
そして、もしADを結ぶならば、Lにおける角は直角となり、GDはGLの2倍である。 まさに同じ理由によって、Mにおける角も直角であり、AGはGMの2倍である。 それゆえ、角ALGは角AMFに等しく、2つの三角形AGLとAMFにおいて角 LAGは共通であるから、したがって残りの角AGLは残りの角MFAに等しい。
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓΛ τρίγωνον τῷ ΑΜΖ τριγώνῳ·
したがって三角形AGLは三角形AMFと等角である。
ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΛΓ πρὸς ΓΑ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς ΖΑ·
したがって比例して、LGがGAに対するように、MFがFAに対する。
καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ διπλάσια·
そして、前項の二倍を取る。
ὡς ἄρα ἡ τῆς ΛΓ διπλῆ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ τῆς ΜΖ διπλῆ πρὸς τὴν ΖΑ. ὡς δὲ ἡ τῆς ΜΖ διπλῆ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὴν ἡμίσειαν τῆς ΖΑ·
そして、MFの2倍がFAに対するように、MFはFAの半分に対する。
καὶ ὡς ἄρα ἡ τῆς ΛΓ διπλῆ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὴν ἡμίσειαν τῆς ΖΑ. καὶ τῶν ἑπομένων τὰ ἡμίσεα· ὡς ἄρα ἡ τῆς ΛΓ διπλῆ πρὸς τὴν ἡμίσειαν τῆς ΓΑ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὸ τέταρτον τῆς ΖΑ. καί ἐστι τῆς μὲν ΛΓ διπλῆ ἡ ΔΓ, τῆς δὲ ΓΑ ἡμίσεια ἡ ΓΜ, τῆς δὲ ΖΑ τέταρτον μέρος ἡ ΖΚ·
したがってまた、LGの2倍がGAに対するように、MFはFAの半分に対する。 そして後項の半分をとると、したがってLGの2倍がGAの半分に対するように、MFは FAの4分の1に対する。 そしてLGの2倍はDGであり、GAの半分はGMであり、FAの4分の1はFKである。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΜ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὴν ΖΚ. συνθέντι καὶ ὡς συναμφότερος ἡ ΔΓΜ πρὸς τὴν ΓΜ, οὕτως ἡ ΜΚ πρὸς ΚΖ·
したがって、DGがGMに対するように、MFがFKに対する。 合比をとると、DGとGMの和がGMに対するように、MKがKFに対する。
καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΔΓΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΜ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΜΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΖ. καὶ ἐπεὶ τῆς ὑπὸ δύο πλευρὰς τοῦ πενταγώνου ὑποτεινούσης, οἷον τῆς ΑΓ, ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμα ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ, τουτέστι τῇ ΔΓ, τὸ δὲ μεῖζον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τῆς ὅλης πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ὅλης, καί ἐστιν ὅλης τῆς ΑΓ ἡμίσεια ἡ ΓΜ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΓΜ ὡς μιᾶς πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΜ.
したがってまた、DGとGMの和（1つの直線とみなしたもの）の上の正方形がGM上の正方形に対するように、MK上の正方形がKF上の正方形に対する。 そして、五角形の2辺を張る直線、たとえばAGが外中比に分割されるとき、大きい方の線分は五角形の辺、すなわちDGに等しく、大きい方の線分が全体の半分を加えたものは、全体の半分の上の正方形の5倍に平方において等しく、そして全体AGの半分はGMであるから、したがって、1つの直線としてのDGとGMの和の上の正方形は、GM上の正方形の5倍である。