§13.prop.12ἐὰν εἰς κύκλον τρίγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ τοῦ τριγώνου πλευρὰ δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου.
円に正三角形が内接するとき、その三角形の辺は、円の半径に対して平方において3倍である。
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ εἰς αὐτὸν τρίγωνον ἰσόπλευρον ἐγγεγράφθω τὸ ΑΒΓ·
円をABGとし、これに正三角形 ABGが内接しているとせよ。
λέγω, ὅτι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου μία πλευρὰ δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
私は、三角形ABGの一つの辺が、円ABGの半径に対して平方において3倍であると主張する。
εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ Δ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΔ διήχθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ. καὶ ἐπεὶ ἰσόπλευρόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, ἡ ΒΕΓ ἄρα περιφέρεια τρίτον μέρος ἐστὶ τῆς τοῦ ΑΒΓ κύκλου περιφερείας.
なぜなら、円 ABGの中心をDとし、ADを結んでEまで延長し、BEを結べ。 そして、三角形ABGは正三角形であるから、したがって弧BEG は円ABGの周の3分の1である。
ἡ ἄρα ΒΕ περιφέρεια ἕκτον ἐστὶ μέρος τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας·
したがって、弧BEは円の周の6分の1である。
ἑξαγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ εὐθεῖα·
したがって、直線BEは正六角形の一辺である。
ἴση ἄρα ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῇ ΔΕ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΕ τῆς ΔΕ, τετραπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΔ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ. ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ·
したがって、それは半径DEに等しい。 そして、AEはDEの2倍であるから、AE上の正方形はED上の正方形、すなわちBE上の正方形の4倍である。 そして、AE上の正方形はAB、BE上の正方形の和に等しい。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ. διελόντι ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΒΕ. ἴση δὲ ἡ ΒΕ τῇ ΔΕ·
したがって、AB、BE上の正方形の和はBE上の正方形の4倍である。 したがって、分離すると、AB上の正方形はBE上の正方形の3倍である。 そして、BEはDEに等しい。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ.
ἡ ἄρα τοῦ τριγώνου πλευρὰ δυνάμει τριπλασία ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου·
したがって、AB上の正方形はDE上の正方形の3倍である。 したがって、三角形の辺は半径に対して平方において3倍である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。