§13.prop.10ἐὰν εἰς κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων.
等辺五角形が円に内接するならば、五角形の辺の平方は、同じ円に内接する六角形の辺の平方と十角形の辺の平方の和に等しい。
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ, καὶ εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγεγράφθω τὸ ΑΒΓΔΕ. λέγω, ὅτι ἡ τοῦ ΑΒΓΔΕ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου πλευρὰν τῶν εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον ἐγγραφομένων.
円をABCDEとし、円ABCDEに等辺五角形ABCDEが内接しているとせよ。 私は、五角形ABCDEの辺の平方は、円ABCDEに内接する六角形の辺の平方と十角形の辺の平方の和に等しい、と主張する。
εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ σημεῖον, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΖ διήχθω ἐπὶ τὸ Η σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΖΘ, καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ, ΚΒ, καὶ πάλιν ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὴν ΑΚ κάθετος ἤχθω ἡ ΖΛ, καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Μ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΝ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ περιφέρεια τῇ ΑΕΔΗ περιφερείᾳ, ὧν ἡ ΑΒΓ τῇ ΑΕΔ ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΗ περιφέρεια λοιπῇ τῇ ΗΔ ἐστιν ἴση.
なぜなら、円の中心を点Fとし、結ばれたAFを点Hまで延長し、FBを結び、FからABへ垂線FThを引き、それをKまで延長し、AK, KBを結び、さらにFからAKへ垂線FLを引き、それをMまで延長し、KNを結べ。 なぜなら弧ABGHは弧AEDHに等しく、それらのうち弧ABCは弧AEDに等しいので、したがって残りの弧GHは残りの弧HDに等しい。
πενταγώνου δὲ ἡ ΓΔ· δεκαγώνου ἄρα ἡ ΓΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΑ τῇ ΖΒ, καὶ κάθετος ἡ ΖΘ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΖΚ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΖΒ. ὥστε καὶ περιφέρεια ἡ ΑΚ τῇ ΚΒ ἐστιν ἴση·
そして、CDは五角形の辺であるから、したがってGHは十角形の辺である。 そして、FAはFBに等しく、FThは垂線であるから、したがって角AFKも KFBに等しい。 したがって、弧AKもKBに等しい。
διπλῆ ἄρα ἡ ΑΒ περιφέρεια τῆς ΒΚ περιφερείας·
したがって、弧ABは弧BK of 2倍である。
δεκαγώνου ἄρα πλευρά ἐστιν ἡ ΑΚ εὐθεῖα.
したがって、直線AKは十角形の辺である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΑΚ τῆς ΚΜ ἐστι διπλῆ.
まさに同じ理由によって、AKもKMの2倍である。
καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΒ περιφέρεια τῆς ΒΚ περιφερείας, ἴση δὲ ἡ ΓΔ περιφέρεια τῇ ΑΒ περιφερείᾳ, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΓΔ περιφέρεια τῆς ΒΚ περιφερείας.
そして、弧ABは弧BKの2倍であり、弧CDは弧ABに等しいから、したがって弧CDもまた弧BKの2倍である。
ἔστι δὲ ἡ ΓΔ περιφέρεια καὶ τῆς ΓΗ διπλῆ·
そして、弧CDは弧GHの2倍でもある。
ἴση ἄρα ἡ ΓΗ περιφέρεια τῇ ΒΚ περιφερείᾳ.
したがって、弧GHは弧BKに等しい。
ἀλλὰ ἡ ΒΚ τῆς ΚΜ ἐστι διπλῆ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΚΑ·
しかし、BKはKMの2倍である（KAもそうであるから）。
καὶ ἡ ΓΗ ἄρα τῆς ΚΜ ἐστι διπλῆ.
したがって、GHもKMの2倍である。
ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΓΒ περιφέρεια τῆς ΒΚ περιφερείας ἐστὶ διπλῆ·
しかし、さらに、弧GBも弧BKの 2倍である。
ἴση γὰρ ἡ ΓΒ περιφέρεια τῇ ΒΑ. καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΗΒ περιφέρεια τῆς ΒΜ ἐστι διπλῆ·
なぜなら、弧GBは弧BAに等しいからである。 したがって、全体の弧HBも弧BMの2倍である。
ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΖΒ γωνίας τῆς ὑπὸ ΒΖΜ διπλῆ.
ゆえに、角HFBも角BFMの2倍である。
ἔστι δὲ ἡ ὑπὸ ΗΖΒ καὶ τῆς ὑπὸ ΖΑΒ διπλῆ·
そして、角HFBは角FABの2倍でもある。
ἴση γὰρ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ τῇ ὑπὸ ΑΒΖ. καὶ ἡ ὑπὸ ΒΖΝ ἄρα τῇ ὑπὸ ΖΑΒ ἐστιν ἴση.
なぜなら、角FABは角ABFに等しいからである。 したがって、角BFNは角FABに等しい。
κοινὴ δὲ τῶν δύο τριγώνων, τοῦ τε ΑΒΖ καὶ τοῦ ΒΖΝ, ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία·
そして、2つの三角形ABFとBFNにおいて、角ABFは共通である。
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΒΝΖ ἐστιν ἴση·
したがって、残りの角AFBは残りの角FNBに等しい。
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΖ τρίγωνον τῷ ΒΖΝ τριγώνῳ.
したがって、三角形ABFは三角形BFNと等角である。
ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΖ, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΝ·
したがって、比例して、直線ABがBFに対するように、FBがBNに対する。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΖ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΛ τῇ ΛΚ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΛΝ, βάσις ἄρα ἡ ΚΝ βάσει τῇ ΑΝ ἐστιν ἴση·
したがって、 ABとBNに囲まれる矩形は、BF上の正方形に等しい。 再び、ALはLKに等しく、LNは共通かつ直角であるから、したがって底辺KNは底辺ANに等しい。
καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΚΝ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΑΝ ἐστιν ἴση.
したがって角LKNも角LANに等しい。
ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΛΑΝ τῇ ὑπὸ ΚΒΝ ἐστιν ἴση·
しかし、角LANは角KBNに等しい。
καὶ ἡ ὑπὸ ΛΚΝ ἄρα τῇ ὑπὸ ΚΒΝ ἐστιν ἴση.
したがって、角LKNもまた角KBNに等しい。
καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΚΒ καὶ τοῦ ΑΚΝ ἡ πρὸς τῷ Α. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΚΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΚΝΑ ἐστιν ἴση·
そして、2つの三角形AKBとAKNにおいて、Aにおける角は共通である。 したがって、残りの角AKBは残りの角KNAに等しい。
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΒΑ τρίγωνον τῷ ΚΝΑ τριγώνῳ.
したがって、三角形KBAは三角形KNAと等角である。
ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΑ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΑΚ, οὕτως ἡ ΚΑ πρὸς τὴν ΑΝ·
したがって、比例して、直線BAがAKに対するように、KAがANに対する。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΑΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΚ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΝ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΝ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΑΝ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΚ. καί ἐστιν ἡ μὲν ΒΑ πενταγώνου πλευρά, ἡ δὲ ΒΖ ἑξαγώνου, ἡ δὲ ΑΚ δεκαγώνου.
したがって、 BAとANに囲まれる矩形は、AK上の正方形に等しい。 そして、ABとBNに囲まれる矩形もまたBF上の正方形に等しいことが示された。 したがって、ABとBNに囲まれる矩形と、BAとANに囲まれる矩形の和（これはBA上の正方形に等しい）は、BF上の正方形とAK上の正方形の和に等しい。 そして、BAは五角形の辺、BFは六角形の辺、AKは十角形の辺である。
ἡ ἄρα τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων·
したがって、五角形の辺の平方は、同じ円に内接する六角形の辺の平方と十角形の辺の平方の和に等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明すべきことであった。