§13.prop.10ἐὰν εἰς κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων.
만약 등변 오각형이 원에 내접한다면, 오각형의 한 변의 제곱은 같은 원에 내접하는 육각형의 한 변의 제곱과 십각형의 한 변의 제곱의 합과 같다.
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ, καὶ εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγεγράφθω τὸ ΑΒΓΔΕ. λέγω, ὅτι ἡ τοῦ ΑΒΓΔΕ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου πλευρὰν τῶν εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον ἐγγραφομένων.
원 ABCDE가 있고, 원 ABCDE에 등변 오각형 ABCDE가 내접해 있다고 하라. 나는 오각형 ABCDE의 한 변의 제곱은 원 ABCDE에 내접하는 육각형의 한 변의 제곱과 십각형의 한 변의 제곱의 합과 같다고 주장한다.
εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ σημεῖον, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΖ διήχθω ἐπὶ τὸ Η σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΖΘ, καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ, ΚΒ, καὶ πάλιν ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὴν ΑΚ κάθετος ἤχθω ἡ ΖΛ, καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Μ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΝ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ περιφέρεια τῇ ΑΕΔΗ περιφερείᾳ, ὧν ἡ ΑΒΓ τῇ ΑΕΔ ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΗ περιφέρεια λοιπῇ τῇ ΗΔ ἐστιν ἴση.
왜냐하면 원의 중심을 점 F라 하고, 선분 AF를 이어 점 H까지 연장하고, FB를 잇고, F에서 AB에 수선 FTh를 내리고 그것을 K까지 연장하고, AK, KB를 잇고, 다시 F에서 AK에 수선 FL을 내리고 그것을 M까지 연장하고, KN을 이어라. 왜냐하면 호 ABGH는 호 AEDH와 같고, 그것들 중 호 ABC는 호 AED와 같으므로, 그러므로 나머지 호 GH는 나머지 호 HD와 같다.
πενταγώνου δὲ ἡ ΓΔ· δεκαγώνου ἄρα ἡ ΓΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΑ τῇ ΖΒ, καὶ κάθετος ἡ ΖΘ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΖΚ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΖΒ. ὥστε καὶ περιφέρεια ἡ ΑΚ τῇ ΚΒ ἐστιν ἴση·
그런데 CD는 오각형의 한 변이므로, 그러므로 GH는 십각형의 한 변이다. 그리고 FA가 FB와 같고, FTh가 수선이므로, 그러므로 각 AFK도 각 KFB와 같다. 그리하여 호 AK도 KB와 같다.
διπλῆ ἄρα ἡ ΑΒ περιφέρεια τῆς ΒΚ περιφερείας·
그러므로 호 AB는 호 BK의 두 배이다.
δεκαγώνου ἄρα πλευρά ἐστιν ἡ ΑΚ εὐθεῖα.
그러므로 직선 AK는 십각형의 한 변이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΑΚ τῆς ΚΜ ἐστι διπλῆ.
바로 같은 이유로, AK도 KM의 두 배이다.
καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΒ περιφέρεια τῆς ΒΚ περιφερείας, ἴση δὲ ἡ ΓΔ περιφέρεια τῇ ΑΒ περιφερείᾳ, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΓΔ περιφέρεια τῆς ΒΚ περιφερείας.
그리고 호 AB는 호 BK의 두 배이고, 호 CD는 호 AB와 같으므로, 그러므로 호 CD도 호 BK의 두 배이다.
ἔστι δὲ ἡ ΓΔ περιφέρεια καὶ τῆς ΓΗ διπλῆ·
그런데 호 CD는 호 GH의 두 배이기도 하다.
ἴση ἄρα ἡ ΓΗ περιφέρεια τῇ ΒΚ περιφερείᾳ.
그러므로 호 GH는 호 BK와 같다.
ἀλλὰ ἡ ΒΚ τῆς ΚΜ ἐστι διπλῆ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΚΑ·
그런데 BK는 KM의 두 배이다 (KA도 그러하므로).
καὶ ἡ ΓΗ ἄρα τῆς ΚΜ ἐστι διπλῆ.
그러므로 GH도 KM의 두 배이다.
ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΓΒ περιφέρεια τῆς ΒΚ περιφερείας ἐστὶ διπλῆ·
나아가 호 GB도 호 BK의 두 배이다.
ἴση γὰρ ἡ ΓΒ περιφέρεια τῇ ΒΑ. καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΗΒ περιφέρεια τῆς ΒΜ ἐστι διπλῆ·
왜냐하면 호 GB는 호 BA와 같기 때문이다. 그러므로 전체 호 HB도 호 BM의 두 배이다.
ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΖΒ γωνίας τῆς ὑπὸ ΒΖΜ διπλῆ.
그러므로 각 HFB도 각 BFM의 두 배이다.
ἔστι δὲ ἡ ὑπὸ ΗΖΒ καὶ τῆς ὑπὸ ΖΑΒ διπλῆ·
그런데 각 HFB는 각 FAB의 두 배이기도 하다.
ἴση γὰρ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ τῇ ὑπὸ ΑΒΖ. καὶ ἡ ὑπὸ ΒΖΝ ἄρα τῇ ὑπὸ ΖΑΒ ἐστιν ἴση.
왜냐하면 각 FAB는 각 ABF와 같기 때문이다. 그러므로 각 BFN은 각 FAB와 같다.
κοινὴ δὲ τῶν δύο τριγώνων, τοῦ τε ΑΒΖ καὶ τοῦ ΒΖΝ, ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία·
그리고 두 삼각형 ABF와 BFN에서 각 ABF는 공통이다.
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΒΝΖ ἐστιν ἴση·
그러므로 나머지 각 AFB는 나머지 각 FNB와 같다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΖ τρίγωνον τῷ ΒΖΝ τριγώνῳ.
그러므로 삼각형 ABF는 삼각형 BFN과 닮음(등각)이다.
ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΖ, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΝ·
그러므로 비례하여, 직선 AB가 BF에 대한 비는 FB가 BN에 대한 비와 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΖ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΛ τῇ ΛΚ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΛΝ, βάσις ἄρα ἡ ΚΝ βάσει τῇ ΑΝ ἐστιν ἴση·
그러므로 AB, BN으로 이루어진 직사각형은 BF 위의 정사각형과 같다. 다시, AL이 LK와 같고, LN은 공통이며 직각이므로, 그러므로 밑변 KN은 밑변 AN과 같다.
καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΚΝ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΑΝ ἐστιν ἴση.
그러므로 각 LKN도 각 LAN과 같다.
ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΛΑΝ τῇ ὑπὸ ΚΒΝ ἐστιν ἴση·
그런데 각 LAN은 각 KBN과 같다.
καὶ ἡ ὑπὸ ΛΚΝ ἄρα τῇ ὑπὸ ΚΒΝ ἐστιν ἴση.
그러므로 각 LKN도 각 KBN과 같다.
καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΚΒ καὶ τοῦ ΑΚΝ ἡ πρὸς τῷ Α. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΚΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΚΝΑ ἐστιν ἴση·
그리고 두 삼각형 AKB와 AKN에서 A에서의 각은 공통이다. 그러므로 나머지 각 AKB는 나머지 각 KNA와 같다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΒΑ τρίγωνον τῷ ΚΝΑ τριγώνῳ.
그러므로 삼각형 KBA는 삼각형 KNA와 닮음(등각)이다.
ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΑ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΑΚ, οὕτως ἡ ΚΑ πρὸς τὴν ΑΝ·
그러므로 비례하여, 직선 BA가 AK에 대한 비는 KA가 AN에 대한 비와 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΑΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΚ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΝ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ·
그러므로 BA, AN으로 이루어진 직사각형은 AK 위의 정사각형과 같다. 그리고 AB, BN으로 이루어진 직사각형도 BF 위의 정사각형과 같음이 증명되었다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΝ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΑΝ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΚ. καί ἐστιν ἡ μὲν ΒΑ πενταγώνου πλευρά, ἡ δὲ ΒΖ ἑξαγώνου, ἡ δὲ ΑΚ δεκαγώνου.
그러므로 AB, BN으로 이루어진 직사각형과 BA, AN으로 이루어진 직사각형의 합(이것은 BA 위의 정사각형과 같다)은 BF 위의 정사각형과 AK 위의 정사각형의 합과 같다. 그리고 BA는 오각형의 한 변, BF는 육각형의 한 변, AK는 십각형의 한 변이다.
ἡ ἄρα τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων·
그러므로 오각형의 한 변의 제곱은 같은 원에 내접하는 육각형의 한 변의 제곱과 십각형의 한 변의 제곱의 합과 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명해야 할 일이었다.