§12.prop.5αἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος οὖσαι πυραμίδες καὶ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις.
等しい高さにあり、かつ三角形の底面をもつ錐体たちは、互いに対してそれらの底面と同じ比をもつ。
ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος πυραμίδες, ὧν βάσεις μὲν τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τρίγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Η, Θ σημεῖα·
等しい高さにある錐体たちがあり、それらの底面は三角形ABG, DEZであり、頂点は点H, Qであるとせよ。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα.
私は言う、底面ABGが底面DEZに及ぼす比は、錐体ABGHが錐体DEZQに及ぼす比と同じである。
εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα, ἔσται ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος στερεὸν ἢ πρὸς μεῖζον.
なぜなら、もし底面ABGが底面DEZに及ぼす比が、錐体ABGHが錐体DEZQに及ぼす比と同じでないならば、底面ABGが底面DEZに及ぼす比は、錐体ABGHが、錐体DEZQよりも小さいある立体に及ぼす比、あるいは大きいある立体に及ぼす比と同じになるであろう。
ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ Χ, καὶ διῃρήσθω ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα·
まず、より小さい立体Xに対する比であるとせよ。 そして、錐体DEZQが、互いに等しくかつ全体に相似な2つの錐体と、2つの等しい柱体とに分割されたとせよ。
τὰ δὴ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ὅλης πυραμίδος.
すると、これら2つの柱体は、全体である錐体の半分よりも大きい。
καὶ πάλιν αἱ ἐκ τῆς διαιρέσεως γινόμεναι πυραμίδες ὁμοίως διῃρήσθωσαν, καὶ τοῦτο ἀεὶ γινέσθω, ἕως οὗ λειφθῶσί τινες πυραμίδες ἀπὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος, αἵ εἰσιν ἐλάττονες τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ἡ ΔΕ ΖΘ πυραμὶς τοῦ Χ στερεοῦ.
そして再び、分割から生じる錐体たちが同様に分割され、そしてこのことが、錐体DEZQからいくつかの錐体が残されるまで、常に繰り返されるようにせよ。 それらの錐体は、錐体DEZQが立体Xを超えている超過分よりも小さいものである。
λελείφθωσαν καὶ ἔστωσαν λόγου ἕνεκεν αἱ ΔΠΡΣ, ΣΤΥΘ·
残されたとせよ、そしてそれらは、議論のために、DPRS, STYQであるとせよ。
λοιπὰ ἄρα τὰ ἐν τῇ ΔΕ ΖΘ πυραμίδι πρίσματα μείζονά ἐστι τοῦ Χ στερεοῦ.
したがって、錐体DEZQにおける残りの柱体は、立体Xよりも大きい。
διῃρήσθω καὶ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς ὁμοίως καὶ ἰσοπληθῶς τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι·
錐体ABGHもまた、同様に、かつ錐体DEZQと同数に分割されたとせよ。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΗ πυραμίδι πρίσματα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα.
したがって、底面ABGが底面DEZに及ぼす比は、錐体ABGHにおける柱体が、錐体DEZQにおける柱体に及ぼす比と同じである。
ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὸ Χ στερεόν·
しかしまた、底面ABGが底面DEZに及ぼす比は、錐体ABGHが立体Xに及ぼす比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὸ Χ στερεόν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΗ πυραμίδι πρίσματα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα·
したがってまた、錐体ABGHが立体Xに及ぼす比は、錐体ABGHにおける柱体が、錐体DEZQにおける柱体に及ぼす比と同じである。
ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὰ ἐν αὐτῇ πρίσματα, οὕτως τὸ Χ στερεὸν πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα.
したがって、交互にすれば、錐体ABGHがそれ自身における柱体に及ぼす比は、立体Xが錐体DEZQにおける柱体に及ぼす比と同じである。
μείζων δὲ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς τῶν ἐν αὐτῇ πρισμάτων·
そして、錐体ABGHは、それ自身における柱体よりも大きい。
μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Χ στερεὸν τῶν ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρισμάτων.
したがって、立体Xもまた、錐体DEZQにおける柱体よりも大きい。
ἀλλὰ καὶ ἔλαττον·
しかし、またそれはより小さい。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς ἔλασσόν τι τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος στερεόν.
したがって、底面ABGが底面DEZに及ぼす比は、錐体ABGHが、錐体DEZQよりも小さいある立体に及ぼす比と同じではない。
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι οὐδὲ ὡς ἡ ΔΕΖ βάσις πρὸς τὴν ΑΒΓ βάσιν, οὕτως ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς πρὸς ἔλαττόν τι τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος στερεόν.
そして同様に、底面DEZが底面ABGに及ぼす比は、錐体DEZQが、錐体ABGHよりも小さいある立体に及ぼす比と同じではない、ということも示されるであろう。
λέγω δή, ὅτι οὐκ ἔστιν οὐδὲ ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς μεῖζόν τι τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος στερεόν.
さらに私は言う、底面ABGが底面DEZに及ぼす比は、錐体ABGHが、錐体DEZQよりも大きいある立体に及ぼす比と同じでもない。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸς μεῖζον τὸ Χ·
なぜなら、もし可能なら、より大きい立体Xに対する比であるとせよ。
ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΔΕΖ βάσις πρὸς τὴν ΑΒΓ βάσιν, οὕτως τὸ Χ στερεὸν πρὸς τὴν ΑΒΓΗ πυραμίδα.
したがって、逆にすれば、底面DEZが底面ABGに及ぼす比は、立体Xが錐体ABGHに及ぼす比と同じである。
ὡς δὲ τὸ Χ στερεὸν πρὸς τὴν ΑΒΓΗ πυραμίδα, οὕτως ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς πρὸς ἔλασσόν τι τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος, ὡς ἔμπροσθεν ἐδείχθη·
しかし、立体Xが錐体ABGHに及ぼす比は、錐体DEZQが、錐体ABGHよりも小さいある立体に及ぼす比と同じである、前に示されたように。
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΔΕΖ βάσις πρὸς τὴν ΑΒΓ βάσιν, οὕτως ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς πρὸς ἔλασσόν τι τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος·
したがってまた、底面DEZが底面ABGに及ぼす比は、錐体DEZQが、錐体ABGHよりも小さいある立体に及ぼす比と同じである。
ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη.
これは不合理であると示された。
οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς μεῖζόν τι τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος στερεόν.
したがって、底面ABGが底面DEZに及ぼす比は、錐体ABGHが、錐体DEZQよりも大きいある立体に及ぼす比と同じではない。
ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλασσον.
また、より小さい立体に対する比でもない、と示された。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα·
したがって、底面ABGが底面DEZに及ぼす比は、錐体ABGHが錐体DEZQに及ぼす比と同じである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。