§12.prop.5αἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος οὖσαι πυραμίδες καὶ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις.
在同一高度下且具有三角形底面的棱锥，彼此之比等于它们底面的比。
ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος πυραμίδες, ὧν βάσεις μὲν τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τρίγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Η, Θ σημεῖα· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα.
设有一些等高的棱锥，其底面为三角形ABG、DEZ，顶点为点H、Q；我说，正如底面ABG之于底面DEZ，棱锥ABGH也之于棱锥DEZQ。
εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα, ἔσται ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος στερεὸν ἢ πρὸς μεῖζον.
因为如果底面ABG之于底面DEZ，不等于棱锥ABGH之于棱锥DEZQ，那么，正如底面ABG之于底面DEZ，棱锥ABGH必之于某个小于棱锥DEZQ的立体，或者之于某个大于它的立体。
ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ Χ, καὶ διῃρήσθω ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα· τὰ δὴ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ὅλης πυραμίδος.
首先，设它是之于一个较小的立体X，且设棱锥DEZQ被分割成两个彼此相等且与整体相似的棱锥，以及两个相等的棱柱；那么，这两个棱柱确实大于整个棱锥的一半。
καὶ πάλιν αἱ ἐκ τῆς διαιρέσεως γινόμεναι πυραμίδες ὁμοίως διῃρήσθωσαν, καὶ τοῦτο ἀεὶ γινέσθω, ἕως οὗ λειφθῶσί τινες πυραμίδες ἀπὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος, αἵ εἰσιν ἐλάττονες τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ἡ ΔΕ ΖΘ πυραμὶς τοῦ Χ στερεοῦ.
再者，让由分割产生的那些棱锥也同样地被分割，并且让这件事不断进行，直到从棱锥DEZQ中剩下一些棱锥，它们小于棱锥DEZQ超过立体X的那个差额。
λελείφθωσαν καὶ ἔστωσαν λόγου ἕνεκεν αἱ ΔΠΡΣ, ΣΤΥΘ· λοιπὰ ἄρα τὰ ἐν τῇ ΔΕ ΖΘ πυραμίδι πρίσματα μείζονά ἐστι τοῦ Χ στερεοῦ.
设它们已被留下，并且为了论述起见，设它们为DPRS、STYQ；因此，在棱锥DEZQ中剩下的那些棱柱大于立体X。
διῃρήσθω καὶ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς ὁμοίως καὶ ἰσοπληθῶς τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΗ πυραμίδι πρίσματα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα.
设棱锥ABGH也被同样地且同数地分割成像棱锥DEZQ那样；因此，正如底面ABG之于底面DEZ，在棱锥ABGH中的那些棱柱也之于在棱锥DEZQ中的那些棱柱。
ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὸ Χ στερεόν· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὸ Χ στερεόν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΗ πυραμίδι πρίσματα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα·
但是，正如底面ABG之于底面DEZ，棱锥ABGH也之于立体X；因此，正如棱锥ABGH之于立体X，在棱锥ABGH中的那些棱柱也之于在棱锥DEZQ中的那些棱柱。
ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὰ ἐν αὐτῇ πρίσματα, οὕτως τὸ Χ στερεὸν πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα.
因此，交互地，正如棱锥ABGH之于在其内部的那些棱柱，立体X也之于在棱锥DEZQ中的那些棱柱。
μείζων δὲ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς τῶν ἐν αὐτῇ πρισμάτων· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Χ στερεὸν τῶν ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρισμάτων.
而棱锥ABGH大于在其内部的那些棱柱；因此，立体X也大于在棱锥DEZQ中的那些棱柱。
ἀλλὰ καὶ ἔλαττον· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
然而，它同时也较小；这是不可能的。
οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς ἔλασσόν τι τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος στερεόν.
因此，不可能是：正如底面ABG之于底面DEZ，棱锥ABGH也之于某个小于棱锥DEZQ的立体。
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι οὐδὲ ὡς ἡ ΔΕΖ βάσις πρὸς τὴν ΑΒΓ βάσιν, οὕτως ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς πρὸς ἔλαττόν τι τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος στερεόν.
同样地，也可以证明，不可能是：正如底面DEZ之于底面ABG，棱锥DEZQ也之于某个小于棱锥ABGH的立体。
λέγω δή, ὅτι οὐκ ἔστιν οὐδὲ ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς μεῖζόν τι τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος στερεόν.
那我接着说，也不可能是：正如底面ABG之于底面DEZ，棱锥ABGH也之于某个大于棱锥DEZQ的立体。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸς μεῖζον τὸ Χ· ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΔΕΖ βάσις πρὸς τὴν ΑΒΓ βάσιν, οὕτως τὸ Χ στερεὸν πρὸς τὴν ΑΒΓΗ πυραμίδα.
因为，如果可能的话，设它是之于一个较大的立体X；因此，反过来，正如底面DEZ之于底面ABG，立体X也之于棱锥ABGH。
ὡς δὲ τὸ Χ στερεὸν πρὸς τὴν ΑΒΓΗ πυραμίδα, οὕτως ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς πρὸς ἔλασσόν τι τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος, ὡς ἔμπροσθεν ἐδείχθη· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΔΕΖ βάσις πρὸς τὴν ΑΒΓ βάσιν, οὕτως ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς πρὸς ἔλασσόν τι τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος· ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη.
而正如立体X之于棱锥ABGH，棱锥DEZQ也之于某个小于棱锥ABGH的立体，正如之前所证明的那样；因此，正如底面DEZ之于底面ABG，棱锥DEZQ也之于某个小于棱锥ABGH的立体；而这已被证明是荒谬的。
οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς μεῖζόν τι τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος στερεόν.
因此，不可能是：正如底面ABG之于底面DEZ，棱锥ABGH也之于某个大于棱锥DEZQ的立体。
ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλασσον.
而这也已被证明，它也不可能之于较小的立体。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，正如底面ABG之于底面DEZ，棱锥ABGH也之于棱锥DEZQ；这就是所要证明的。