§12.prop.6#1αἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος οὖσαι πυραμίδες καὶ πολυγώνους ἔχουσαι βάσεις πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις.
等しい高さにあり、かつ多角形の底面をもつ錐体たちは、互いに対してそれらの底面と同じ比をもつ。
ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος πυραμίδες, ὧν βάσεις μὲν τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ πολύγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Μ, ν σημεῖα·
等しい高さにある錐体たちがあり、それらの底面は多角形ABGDE, ZHQKLであり、頂点は点M, Nであるとせよ。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛΝ πυραμίδα.
私は言う、底面ABGDEが底面ZHQKLに及ぼす比は、錐体ABGDEMが錐体ZHQKLNに及ぼす比と同じである。
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ, ΑΔ, ΖΘ, ΖΚ. ἐπεὶ οὖν δύο πυραμίδες εἰσὶν αἱ ΑΒΓΜ, ΑΓΔΜ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις καὶ ὕψος ἴσον, πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις·
なぜなら、AG, AD, ZQ, ZKが結ばれたとせよ。 したがって、ABGM, AGDMは、三角形の底面と等しい高さをもつ2つの錐体であるから、互いに対してそれらの底面と同じ比をもつ。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΑΓΔ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΓΔΜ πυραμίδα.
したがって、底面ABGが底面AGDに及ぼす比は、錐体ABGM, 錐体AGDMに及ぼす比と同じである。
καὶ συνθέντι ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΑΓΔ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΔΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΓΔΜ πυραμίδα.
そして、合併すれば、底面ABGDが底面AGDに及ぼす比は、錐体ABGDMが錐体AGDMに及ぼす比と同じである。
ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΑΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΑΔΕ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΓΔΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΔΕΜ πυραμίδα.
しかしまた、底面AGDが底面ADEに及ぼす比は、錐体AGDMが錐体ADEMに及ぼす比と同じである。
διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΑΔΕ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΔΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΔΕΜ πυραμίδα.
したがって、等比の理により、底面ABGDが底面ADEに及ぼす比は、錐体ABGDMが錐体ADEMに及ぼす比と同じである。
καὶ συνθέντι πάλιν, ὡς ἡ ΑΒΓΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΑΔΕ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΔΕΜ πυραμίδα.
そして再び合併すれば、底面ABGDEが底面ADEに及ぼす比は、錐体ABGDEMが錐体ADEMに及ぼす比と同じである。
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ὡς ἡ ΖΗΘΚΛ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘ βάσιν, οὕτως καὶ ἡ ΖΗΘΚΛΝ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΝ πυραμίδα.
そして同様に、底面ZHQKLが底面ZHQに及ぼす比は、錐体ZHQKLNが錐体ZHQNに及ぼす比と同じであることも示されるであろう。
καὶ ἐπεὶ δύο πυραμίδες εἰσὶν αἱ ΑΔ ΕΜ, ΖΗΘΝ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις καὶ ὕψος ἴσον, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΔΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΝ πυραμίδα.
そして、ADEM, ZHQNは三角形の底面と等しい高さをもつ2つの錐体であるから、したがって、底面ADEが底面ZHQに及ぼす比は、錐体ADEMが錐体ZHQNに及ぼす比と同じである。
ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΑΒΓΔΕ βάσιν, οὕτως ἦν ἡ ΑΔ ΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΒΓΔΕΜ πυραμίδα.
しかし、底面ADEが底面ABGDEに及ぼす比は、錐体ADEMが錐体ABGDEMに及ぼす比と同じであった。
καὶ διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΝ πυραμίδα.
したがって、等比の理により、底面ABGDEが底面ZHQに及ぼす比は、錐体ABGDEMが錐体ZHQNに及ぼす比と同じである。
ἀλλὰ μὴν καὶ ὡς ἡ ΖΗΘ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛ βάσιν, οὕτως ἦν καὶ ἡ ΖΗΘΝ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛΝ πυραμίδα.
しかしまた実に、底面ZHQが底面ZHQKLに及ぼす比は、錐体ZHQNが錐体ZHQKLNに及ぼす比と同じであった。
καὶ διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛΝ πυραμίδα·
したがって、等比の理により、底面ABGDEが底面ZHQKLに及ぼす比は、錐体ABGDEMが錐体ZHQKLN に及ぼす比と同じである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。
πᾶν πρίσμα τρίγωνον ἔχον βάσιν διαιρεῖται εἰς τρεῖς πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις τριγώνους βάσεις ἐχούσας.
三角形の底面をもつすべての柱体は、三角形の底面をもつ互いに等しい3つの錐体に分割される。
ἔστω πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΔΕΖ·
柱体があり、その底面は三角形ABGであり、反対側の面はDEZであるとせよ。
λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα διαιρεῖται εἰς τρεῖς πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις τριγώνους ἐχούσας βάσεις.
私は言う、柱体ABGDEZは、三角形の底面をもつ互いに等しい3つの錐体に分割される。