§12.prop.4#2καὶ ὁμοίως, ἐὰν διαιρεθῶσιν αἱ ΟΜΝΗ, ΣΤΥΘ πυραμίδες εἴς τε δύο πρίσματα καὶ δύο πυραμίδας, ἔσται ὡς ἡ ΟΜΝ βάσις πρὸς τὴν ΣΤΥ βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΟΜ ΝΗ πυραμίδι δύο πρίσματα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΣΤΥΘ πυραμίδι δύο πρίσματα.
そして同様に、もし錐体OMNH, STYQが2つの柱体と2つの錐体に分割されるならば、底面OMNが底面STYに及ぼす比は、錐体OMNHにおける2つの柱体が、錐体STYQにおける2つの柱体に及ぼす比と同じである。
ἀλλʼ ὡς ἡ ΟΜΝ βάσις πρὸς τὴν ΣΤΥ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν·
しかし、底面OMNが底面STYに及ぼす比は、底面ABGが底面DEZに及ぼす比と同じである。
ἴσον γὰρ ἑκάτερον τῶν ΟΜΝ, ΣΤΥ τριγώνων ἑκατέρῳ τῶν ΛΞΓ, ΡΦΖ. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὰ τέσσαρα πρίσματα πρὸς τὰ τέσσαρα πρίσματα.
なぜなら、三角形OMN, STYのそれぞれは、三角形LXG, RFZのそれぞれに等しいからである。 したがってまた、底面ABGが底面DEZに及ぼす比は、4つの柱体が4つの柱体に及ぼす比と同じである。
ὁμοίως δὲ κἂν τὰς ὑπολειπομένας πυραμίδας διέλωμεν εἴς τε δύο πυραμίδας καὶ εἰς δύο πρίσματα, ἔσται ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒ ΓΗ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα πάντα ἰσοπληθῆ·
そして同様に、たとえ残された錐体たちを2つの錐体と2つの柱体へと分割していっても、底面ABGが底面DEZに及ぼす比は、錐体ABGHにおけるすべての柱体が、錐体DEZQにおける同数のすべての柱体に及ぼす比と同じである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。
λῆμμα
ὅτι δέ ἐστιν ὡς τὸ ΛΞΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, οὕτως τὸ πρίσμα, οὗ βάσις τὸ ΛΞΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ, πρὸς τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΦΖ, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ, οὕτω δεικτέον.
補題三角形LXGが三角形RFZに及ぼす比は、底面が三角形LXGでそれに向かい合う面がOMNである柱体の、底面がRFZでそれに向かい合う面がSTYである柱体に及ぼす比と同じであることは、次のように示されねばならない。
ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς νενοήσθωσαν ἀπὸ τῶν Η, Θ κάθετοι ἐπὶ τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπίπεδα, ἴσαι δηλαδὴ τυγχάνουσαι διὰ τὸ ἰσοϋψεῖς ὑποκεῖσθαι τὰς πυραμίδας.
なぜなら、同じ図において、点H, Qから平面ABG, DEZへの垂線が下ろされたと想定せよ。 それらは、錐体が等しい高さをもつと仮定されていることにより、明らかに等しい。
καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι ἥ τε ΗΓ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Η κάθετος ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν ΑΒΓ, ΟΜΝ τέμνονται, εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους τμηθήσονται.
そして、2つの直線、すなわちHGとHからの垂線は、平行な平面ABG, OMNによって切られるので、同じ比に切り分けられる。
καὶ τέτμηται ἡ ΗΓ δίχα ὑπὸ τοῦ ΟΜΝ ἐπιπέδου κατὰ τὸ Ν·
そしてHGは、平面OMNによって点Nにおいて2等分されている。
καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἄρα κάθετος ἐπὶ τὸ ΑΒΓ ἐπίπεδον δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τοῦ ΟΜΝ ἐπιπέδου.
したがってまた、Hから平面ABGへの垂線も、平面OMNによって2等分される。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Θ κάθετος ἐπὶ τὸ ΔΕΖ ἐπίπεδον δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τοῦ ΣΤΥ ἐπιπέδου.
まったく同じ理由によってまた、Qから平面DEZへの垂線も、平面STYによって2等分される。
καί εἰσιν ἴσαι αἱ ἀπὸ τῶν Η, Θ κάθετοι ἐπὶ τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπίπεδα·
そして、H, Qから平面ABG, DEZへの垂線は等しい。
ἴσαι ἄρα καὶ αἱ ἀπὸ τῶν ΟΜΝ, ΣΤΥ τριγώνων ἐπὶ τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ κάθετοι.
したがって、三角形OMN, STYから平面ABG, DEZへの垂線も等しい。
ἰσοϋψῆ ἄρα τὰ πρίσματα, ὧν βάσεις μέν εἰσι τὰ ΛΞΓ, ΡΦΖ τρίγωνα, ἀπεναντίον δὲ τὰ ΟΜΝ, ΣΤΥ. ὥστε καὶ τὰ στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ἀπὸ τῶν εἰρημένων πρισμάτων ἀναγραφόμενα ἰσοϋψῆ καὶ πρὸς ἄλληλα ὡς αἱ βάσεις·
したがって、底面が三角形LXG, RFZで、それに向かい合う面がOMN, STYである柱体は、等しい高さのものである。 したがってまた、言及された柱体から作られる平行六面体も、等しい高さのものであり、かつ互いに対してそれらの底面と同じ比をもつ。
καὶ τὰ ἡμίση ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΛΞΓ βάσις πρὸς τὴν ΡΦΖ βάσιν, οὕτως τὰ εἰρημένα πρίσματα πρὸς ἄλληλα·
したがってまた、それらの半分についても、底面LXGが底面RFZに及ぼす比は、言及された柱体たちの互いに対する比と同じである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。