§12.prop.5αἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος οὖσαι πυραμίδες καὶ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις.
같은 높이에 있고 삼각형 밑면을 가지는 각뿔들은 서로에 대하여 밑면의 비와 같다.
ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος πυραμίδες, ὧν βάσεις μὲν τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τρίγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Η, Θ σημεῖα·
같은 높이에 있는 각뿔들이 있다고 하자. 이것들의 밑면은 삼각형 ABG, DEZ이고, 꼭짓점은 점 H, Q이다.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα.
나는 말한다, 밑면 ABG가 밑면 DEZ에 대하여 가지는 비는 각뿔 ABGH가 각뿔 DEZQ에 대하여 가지는 비와 같다.
εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα, ἔσται ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος στερεὸν ἢ πρὸς μεῖζον.
왜냐하면 만일 밑면 ABG가 밑면 DEZ에 대하여 가지는 비가 각뿔 ABGH가 각뿔 DEZQ에 대하여 가지는 비와 같지 않다면, 밑면 ABG가 밑면 DEZ에 대하여 가지는 비는, 각뿔 ABGH가 각뿔 DEZQ보다 어떤 작은 입체에 대하여 가지는 비와 같거나 혹은 큰 입체에 대하여 가지는 비와 같을 것이다.
ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ Χ, καὶ διῃρήσθω ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα·
먼저 더 작은 입체 X에 대하여 비를 가진다고 하자. 그리고 각뿔 DEZQ가 서로 같고 전체와 닮은 두 개의 각뿔과, 두 개의 같은 각기둥으로 분할되었다고 하자.
τὰ δὴ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ὅλης πυραμίδος.
그러면 이 두 각기둥은 전체 각뿔의 절반보다 더 크다.
καὶ πάλιν αἱ ἐκ τῆς διαιρέσεως γινόμεναι πυραμίδες ὁμοίως διῃρήσθωσαν, καὶ τοῦτο ἀεὶ γινέσθω, ἕως οὗ λειφθῶσί τινες πυραμίδες ἀπὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος, αἵ εἰσιν ἐλάττονες τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ἡ ΔΕ ΖΘ πυραμὶς τοῦ Χ στερεοῦ.
그리고 다시 분할로부터 생기는 각뿔들이 마찬가지로 분할되게 하고, 이 일이 각뿔 DEZQ로부터 어떤 각뿔들이 남겨질 때까지 계속해서 일어나게 하라. 그것들은 각뿔 DEZQ가 입체 X보다 초과하는 그 초과분보다 더 작은 것들이다.
λελείφθωσαν καὶ ἔστωσαν λόγου ἕνεκεν αἱ ΔΠΡΣ, ΣΤΥΘ·
남겨졌다고 하고, 논의를 위해 그것들을 DPRS, STYQ라 하자.
λοιπὰ ἄρα τὰ ἐν τῇ ΔΕ ΖΘ πυραμίδι πρίσματα μείζονά ἐστι τοῦ Χ στερεοῦ.
그러므로 각뿔 DEZQ 안에 남은 각기둥들은 입체 X보다 더 크다.
διῃρήσθω καὶ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς ὁμοίως καὶ ἰσοπληθῶς τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι·
각뿔 ABGH도 마찬가지로, 그리고 각뿔 DEZQ와 동수로 분할되었다고 하자.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΗ πυραμίδι πρίσματα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα.
그러므로 밑면 ABG가 밑면 DEZ에 대하여 가지는 비는 각뿔 ABGH 안의 각기둥들이 각뿔 DEZQ 안의 각기둥들에 대하여 가지는 비와 같다.
ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὸ Χ στερεόν·
그런데 또한 밑면 ABG가 밑면 DEZ에 대하여 가지는 비는 각뿔 ABGH가 입체 X에 대하여 가지는 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὸ Χ στερεόν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΗ πυραμίδι πρίσματα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα·
그러므로 또한 각뿔 ABGH가 입체 X에 대하여 가지는 비는 각뿔 ABGH 안의 각기둥들이 각뿔 DEZQ 안의 각기둥들에 대하여 가지는 비와 같다.
ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὰ ἐν αὐτῇ πρίσματα, οὕτως τὸ Χ στερεὸν πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα.
그러므로 교대로 하면, 각뿔 ABGH가 그것 안의 각기둥들에 대하여 가지는 비는 입체 X가 각뿔 DEZQ 안의 각기둥들에 대하여 가지는 비와 같다.
μείζων δὲ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς τῶν ἐν αὐτῇ πρισμάτων·
그런데 각뿔 ABGH는 그것 안의 각기둥들보다 더 크다.
μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Χ στερεὸν τῶν ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρισμάτων.
그러므로 입체 X도 각뿔 DEZQ 안의 각기둥들보다 더 크다.
ἀλλὰ καὶ ἔλαττον·
그런데 또한 그것은 더 작다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς ἔλασσόν τι τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος στερεόν.
그러므로 밑면 ABG가 밑면 DEZ에 대하여 가지는 비는 각뿔 ABGH가 각뿔 DEZQ보다 어떤 작은 입체에 대하여 가지는 비와 같지 않다.
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι οὐδὲ ὡς ἡ ΔΕΖ βάσις πρὸς τὴν ΑΒΓ βάσιν, οὕτως ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς πρὸς ἔλαττόν τι τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος στερεόν.
그리고 마찬가지로 밑면 DEZ가 밑면 ABG에 대하여 가지는 비는 각뿔 DEZQ가 각뿔 ABGH보다 어떤 작은 입체에 대하여 가지는 비와 같지 않다는 것도 보일 것이다.
λέγω δή, ὅτι οὐκ ἔστιν οὐδὲ ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς μεῖζόν τι τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος στερεόν.
이제 나는 말한다, 밑면 ABG가 밑면 DEZ에 대하여 가지는 비는 각뿔 ABGH가 각뿔 DEZQ보다 어떤 큰 입체에 대하여 가지는 비와 같지도 않다.
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸς μεῖζον τὸ Χ·
왜냐하면 만일 가능하다면, 더 큰 입체 X에 대하여 비를 가진다고 하자.
ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΔΕΖ βάσις πρὸς τὴν ΑΒΓ βάσιν, οὕτως τὸ Χ στερεὸν πρὸς τὴν ΑΒΓΗ πυραμίδα.
그러므로 거꾸로 하면, 밑면 DEZ가 밑면 ABG에 대하여 가지는 비는 입체 X가 각뿔 ABGH에 대하여 가지는 비와 같다.
ὡς δὲ τὸ Χ στερεὸν πρὸς τὴν ΑΒΓΗ πυραμίδα, οὕτως ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς πρὸς ἔλασσόν τι τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος, ὡς ἔμπροσθεν ἐδείχθη·
핵심적인 것은 입체 X가 각뿔 ABGH에 대하여 가지는 비는, 전에 보였던 것처럼, 각뿔 DEZQ가 각뿔 ABGH보다 어떤 작은 입체에 대하여 가지는 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΔΕΖ βάσις πρὸς τὴν ΑΒΓ βάσιν, οὕτως ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς πρὸς ἔλασσόν τι τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος·
그러므로 또한 밑면 DEZ가 밑면 ABG에 대하여 가지는 비는 각뿔 DEZQ가 각뿔 ABGH보다 어떤 작은 입체에 대하여 가지는 비와 같다.
ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη.
이것은 모순이라고 증명되었다.
οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς μεῖζόν τι τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος στερεόν.
그러므로 밑면 ABG가 밑면 DEZ에 대하여 가지는 비는 각뿔 ABGH가 각뿔 DEZQ보다 어떤 큰 입체에 대하여 가지는 비와 같지 않다.
ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλασσον.
또한 더 작은 입체에 대한 것도 아니라고 증명되었다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα·
그러므로 밑면 ABG가 밑면 DEZ에 대하여 가지는 비는 각뿔 ABGH가 각뿔 DEZQ에 대하여 가지는 비와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.