§12.prop.2#1οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα.
円は互いに対して、直径の上の正方形と同じ比を持つ。
ἔστωσαν κύκλοι οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ, διάμετροι δὲ αὐτῶν αἱ ΒΔ, ΖΘ·
円 ABGD, EZHQ があり、それらの直径を BD, ZQ とせよ。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον.
私は言う、円 ABGD が円 EZHQ に対する比は、BD 上の正方形が ZQ 上の正方形に対する比と同じである、と。
εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, ἔσται ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον ἢ πρὸς μεῖζον.
なぜなら、もし円 ABGD が円 EZHQ に対する比が、BD 上の正方形が ZQ 上の正方形に対する比と同じでないならば、BD 上の正方形が ZQ 上の正方形に対する比は、円 ABGD が、円 EZHQ より小さいある領域に対する比か、あるいはより大きい領域に対する比のいずれかと同じになるであろうからである。
ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ Σ. καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ·
まず、より小さい領域 S に対するものとせよ。 そして、円 EZHQ に正方形 EZHQ を内接させよ。
τὸ δὴ ἐγγεγραμμένον τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, ἐπειδήπερ ἐὰν διὰ τῶν ε, Ζ, Η, Θ σημείων ἐφαπτομένας τοῦ κύκλου ἀγάγωμεν, τοῦ περιγραφομένου περὶ τὸν κύκλον τετραγώνου ἥμισύ ἐστι τὸ ΕΖΗΘ τετράγωνον, τοῦ δὲ περιγραφέντος τετραγώνου ἐλάττων ἐστὶν ὁ κύκλος·
すると、内接された正方形は円 EZHQ の半分よりも大きい。 なぜなら、もし点 E, Z, H, Q を通って円に接する線を引き、円に外接する正方形を作れば、正方形 EZHQ は外接する正方形の半分であり、かつ円は外接する正方形よりも小さいからである。
ὥστε τὸ ΕΖΗΘ ἐγγεγραμμένον τετράγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμίσεως τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου.
したがって、内接された正方形 EZHQ は、円 EZHQ の半分よりも大きい。
τετμήσθωσαν δίχα αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ περιφέρειαι κατὰ τὰ Κ, Λ, Μ, Ν σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΚ, ΚΖ, ΖΛ, ΛΗ, ΗΜ, ΜΘ, ΘΝ, ΝΕ·
弧 EZ, ZH, HQ, QE を点 K, L, M, N において二等分せよ。 そして直線 EK, KZ, ZL, LH, HM, MQ, QN, NE を結べ。
καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ, ΘΝΕ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθʼ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ κύκλου, ἐπειδήπερ ἐὰν διὰ τῶν Κ, Λ, Μ, Ν σημείων ἐφαπτομένας τοῦ κύκλου ἀγάγωμεν καὶ ἀναπληρώσωμεν τὰ ἐπὶ τῶν ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ εὐθειῶν παραλληλόγραμμα, ἕκαστον τῶν ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ, ΘΝΕ τριγώνων ἥμισυ ἔσται τοῦ καθʼ ἑαυτὸ παραλληλογράμμου, ἀλλὰ τὸ καθʼ ἑαυτὸ τμῆμα ἔλαττόν ἐστι τοῦ παραλληλογράμμου·
すると、三角形 EKZ, ZLH, HMQ, QNE のそれぞれも、対応する円の弓形の半分よりも大きい。 なぜなら、もし点 K, L, M, N を通って円に接する線を引き、直線 EZ, ZH, HQ, QE の上の平行四辺形を完成させるならば、三角形 EKZ, ZLH, HMQ, QNE のそれぞれは、対応する平行四辺形の半分になるであろうが、対応する弓形は平行四辺形よりも小さいからである。
ὥστε ἕκαστον τῶν ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ, ΘΝΕ τριγώνων μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμίσεως τοῦ καθʼ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ κύκλου.
したがって、三角形 EKZ, ZLH, HMQ, QNE のそれぞれは、対応する円の弓形の半分よりも大きい。
τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντες εὐθείας καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κύκλου, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ ΕΖΗΘ κύκλος τοῦ Σ χωρίου.
このようにして、残された弧を二等分し、直線を引き、これを常に繰り返すならば、私たちは円のいくつかの弓形を残すことになり、それらは円 EZHQ が領域 S を超える超過分よりも小さくなるであろう。
ἐδείχθη γὰρ ἐν τῷ πρώτῳ θεωρήματι τοῦ δεκάτου βιβλίου, ὅτι δύο μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων, ἐὰν ἀπὸ τοῦ μείζονος ἀφαιρεθῇ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ καὶ τοῦ καταλειπομένου μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γίγνηται, λειφθήσεταί τι μέγεθος, ὃ ἔσται ἔλασσον τοῦ ἐκκειμένου ἐλάσσονος μεγέθους.
なぜなら、第10巻の最初の定理において次のことが示されたからである。 二つの不等な大きさが与えられたとき、もし大きい方から半分より大きいものが引かれ、さらに残されたものから半分より大きいものが引かれ、これが常に繰り返されるならば、ある大きさが残され、それは与えられた小さい方の大きさよりも小さくなるであろう。
λελείφθω οὖν, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΕΚ, ΚΖ, ΖΛ, ΛΗ, ΗΜ, ΜΘ, ΘΝ, ΝΕ τμήματα τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐλάττονα τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ ΕΖΗΘ κύκλος τοῦ Σ χωρίου.
したがって、そのようなものが残されたとし、円 EZHQ の直線 EK, KZ, ZL, LH, HM, MQ, QN, NE の上の弓形が、円 EZHQ が領域 S を超える超過分よりも小さいとせよ。
λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΚΖΛΗ ΜΘΝ πολύγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ Σ χωρίου.
それゆえ、残された多角形 EKZLHMQN は領域 S より大きい。
ἐγγεγράφθω καὶ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τῷ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολυγώνῳ ὅμοιον πολύγωνον τὸ ΑΞΒΟΓΠΔΡ·
また、円 ABGD に、多角形 EKZLHMQN と相似な多角形 AXBOGPDR を内接させよ。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον, οὕτως τὸ ΑΞΒΟΓΠΔΡ πολύγωνον πρὸς τὸ ΕΚΖΛ ΗΜΘΝ πολύγωνον.
すると、BD 上の正方形が ZQ 上の正方形に対する比は、多角形 AXBOGPDR が多角形 EKZLHMQN に対する比と同じである。