§12.prop.2#2ἀλλὰ καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸ Σ χωρίον·
しかしまた、BD上の正方形がZQ上の正方形に対する比は、円ABGDが領域Sに対する比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸ Σ χωρίον, οὕτως τὸ ΑΞΒΟΓΠΔΡ πολύγωνον πρὸς τὸ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολύγωνον·
したがってまた、円ABGDが領域Sに対する比は、多角形AXBOGPDRが多角形 EKZLHMQNに対する比と同じである。
ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸ ἐν αὐτῷ πολύγωνον, οὕτως τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολύγωνον.
それゆえ互い違いにして、円ABGDがその内接多角形に対する比は、領域Sが多角形EKZLHMQNに対する比と同じである。
μείζων δὲ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τοῦ ἐν αὐτῷ πολυγώνου·
ところで、円ABGDはその内接多角形よりも大きい。
μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Σ χωρίον τοῦ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολυγώνου.
したがって、領域Sも多角形EKZLHMQNよりも大きい。
ἀλλὰ καὶ ἔλαττον·
しかしまた、［領域Sは多角形よりも］小さい［とされていた］。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον.
ゆえに、BD上の正方形がZQ上の正方形に対する比は、円ABGDが円EZHQより小さいある領域に対する比と同じではない。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ὡς τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον.
同様にまた、ZQ上の［正方形］がBD上の［正方形］に対する比は、円EZHQが円ABGD より小さいある領域に対する比と同じでもないことを、私たちは示すであろう。
λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον.
次に私は言う、BD上の［正方形］がZQ上の［正方形］に対する比は、円ABGDが円EZHQより大きいある領域に対する比と同じでもない、と。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸς μεῖζον τὸ Σ. ἀνάπαλιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ, οὕτως τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον.
なぜなら、もし可能なら、より大きい［領域］Sに対するものとせよ。 したがって、逆にして、 ZQ上の正方形がDB上の正方形に対する比は、領域Sが円ABGDに対する比と同じである。
ἀλλʼ ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον·
しかし、領域Sが円ABGDに対する比は、円EZHQが円ABGDより小さいある領域に対する比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον·
したがってまた、ZQ上の［正方形］がBD上の［正方形］に対する比は、円 EZHQが円ABGDより小さいある領域に対する比と同じである。
ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη.
これは不可能であると示された。
οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον.
ゆえに、BD上の正方形がZQ上の正方形に対する比は、円ABGDが円EZHQより大きいある領域に対する比と同じではない。
ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλασσον·
また、より小さいものに対することもないと示された。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον.
したがって、BD上の正方形がZQ上の正方形に対する比は、円ABGDが円EZHQに対する比と同じである。
οἱ ἄρα κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα·
それゆえ円は互いに対して、直径の上の正方形と同じ比を持つ。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
――これが示すべきことであった。
λῆμμα
λέγω δή, ὅτι τοῦ Σ χωρίου μείζονος ὄντος τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐστὶν ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον.
補題次に私は言う、領域Sが円EZHQよりも大きいとき、領域Sが円ABGDに対する比は、円EZHQが円ABGDより小さいある領域に対する比と同じである、と。
γεγονέτω γὰρ ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸ Τ χωρίον.
なぜなら、領域Sが円ABGDに対する比が、円EZHQが領域Tに対する比と同じになるようにせよ。
λέγω, ὅτι ἔλαττόν ἐστι τὸ Τ χωρίον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου.
私は言う、領域Tは円ABGDよりも小さい、と。
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸ Τ χωρίον, ἐναλλάξ ἐστιν ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸ Τ χωρίον.
なぜなら、領域Sが円ABGDに対する比は、円EZHQが領域Tに対する比と同じであるから、互い違いにして、領域Sが円EZHQに対する比は、円ABGDが領域Tに対する比と同じである。
μεῖζον δὲ τὸ Σ χωρίον τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου·
ところで、領域Sは円EZHQよりも大きい。
μείζων ἄρα καὶ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τοῦ Τ χωρίου.
したがって、円ABGDも領域Tよりも大きい。
ὥστε ἐστὶν ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον·
それゆえ、領域Sが円ABGDに対する比は、円EZHQが円ABGDより小さいある領域に対する比と同じである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
――これが示すべきことであった。