§12.prop.2#1οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα.
원들은 서로에 대하여 지름들 위의 정사각형들의 비와 같다.
ἔστωσαν κύκλοι οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ, διάμετροι δὲ αὐτῶν αἱ ΒΔ, ΖΘ·
원 ABGD, EZHQ가 있고, 그것들의 지름들을 BD, ZQ라 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον.
나는 말한다, 원 ABGD 가 원 EZHQ에 대한 비는 BD 위의 정사각형이 ZQ 위의 정사각형에 대한 비와 같다.
εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, ἔσται ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον ἢ πρὸς μεῖζον.
왜냐하면 만일 원 ABGD가 원 EZHQ에 대한 비가 BD 위의 정사각형이 ZQ 위의 정사각형에 대한 비와 같지 않다면, BD 위의 정사각형이 ZQ 위의 정사각형에 대한 비는 원 ABGD가 원 EZHQ보다 더 작은 어떤 영역에 대한 비이거나 혹은 더 큰 영역에 대한 비와 같을 것이기 때문이다.
ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ Σ. καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ·
먼저, 더 작은 영역 S에 대한 비라 하자. 그리고 원 EZHQ에 정사각형 EZHQ를 내접시키자.
τὸ δὴ ἐγγεγραμμένον τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, ἐπειδήπερ ἐὰν διὰ τῶν ε, Ζ, Η, Θ σημείων ἐφαπτομένας τοῦ κύκλου ἀγάγωμεν, τοῦ περιγραφομένου περὶ τὸν κύκλον τετραγώνου ἥμισύ ἐστι τὸ ΕΖΗΘ τετράγωνον, τοῦ δὲ περιγραφέντος τετραγώνου ἐλάττων ἐστὶν ὁ κύκλος·
그러면 내접된 정사각형은 원 EZHQ의 절반보다 더 크다. 왜냐하면 만일 점 E, Z, H, Q를 지나 원에 접하는 선들을 긋는다면, 원에 외접하는 정사각형의 절반이 정사각형 EZHQ이고, 원은 그 외접하는 정사각형보다 더 작기 때문이다.
ὥστε τὸ ΕΖΗΘ ἐγγεγραμμένον τετράγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμίσεως τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου.
따라서 내접된 정사각형 EZHQ는 원 EZHQ의 절반보다 더 크다.
τετμήσθωσαν δίχα αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ περιφέρειαι κατὰ τὰ Κ, Λ, Μ, Ν σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΚ, ΚΖ, ΖΛ, ΛΗ, ΗΜ, ΜΘ, ΘΝ, ΝΕ·
호 EZ, ZH, HQ, QE를 점 K, L, M, N에서 이등분하자. 그리고 직선 EK, KZ, ZL, LH, HM, MQ, QN, NE를 잇자.
καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ, ΘΝΕ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθʼ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ κύκλου, ἐπειδήπερ ἐὰν διὰ τῶν Κ, Λ, Μ, Ν σημείων ἐφαπτομένας τοῦ κύκλου ἀγάγωμεν καὶ ἀναπληρώσωμεν τὰ ἐπὶ τῶν ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ εὐθειῶν παραλληλόγραμμα, ἕκαστον τῶν ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ, ΘΝΕ τριγώνων ἥμισυ ἔσται τοῦ καθʼ ἑαυτὸ παραλληλογράμμου, ἀλλὰ τὸ καθʼ ἑαυτὸ τμῆμα ἔλαττόν ἐστι τοῦ παραλληλογράμμου·
그러면 삼각형 EKZ, ZLH, HMQ, QNE의 각각도 그것에 대응하는 원의 활꼴의 절반보다 더 크다. 왜냐하면 만일 점 K, L, M, N을 지나 원에 접하는 선들을 긋고, 직선 EZ, ZH, HQ, QE 위의 평행사변형들을 완성한다면, 삼각형 EKZ, ZLH, HMQ, QNE의 각각은 그것에 대응하는 평행사변형의 절반이 될 것이지만, 대응하는 활꼴은 그 평행사변형보다 더 작기 때문이다.
ὥστε ἕκαστον τῶν ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ, ΘΝΕ τριγώνων μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμίσεως τοῦ καθʼ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ κύκλου.
따라서 삼각형 EKZ, ZLH, HMQ, QNE의 각각은 그것에 대응하는 원의 활꼴의 절반보다 더 크다.
τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντες εὐθείας καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κύκλου, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ ΕΖΗΘ κύκλος τοῦ Σ χωρίου.
이와 같이 남은 호들을 이등분하고 직선들을 이으며 이것을 계속해 나간다면, 우리는 원의 어떤 활꼴들을 남기게 될 것인데, 그것들은 원 EZHQ가 영역 S를 초과하는 그 초과분보다 더 작을 것이다.
ἐδείχθη γὰρ ἐν τῷ πρώτῳ θεωρήματι τοῦ δεκάτου βιβλίου, ὅτι δύο μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων, ἐὰν ἀπὸ τοῦ μείζονος ἀφαιρεθῇ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ καὶ τοῦ καταλειπομένου μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γίγνηται, λειφθήσεταί τι μέγεθος, ὃ ἔσται ἔλασσον τοῦ ἐκκειμένου ἐλάσσονος μεγέθους.
왜냐하면 제10권의 첫 번째 정리에서 다음이 증명되었기 때문이다. 두 개의 서로 같지 않은 크기가 주어졌을 때, 만일 더 큰 것에서 절반보다 더 큰 것을 빼내고, 남은 것에서 절반보다 더 큰 것을 빼내며, 이것을 계속해 나간다면, 어떤 크기가 남게 될 것인데 그것은 처음에 주어진 더 작은 크기보다 더 작을 것이다.
λελείφθω οὖν, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΕΚ, ΚΖ, ΖΛ, ΛΗ, ΗΜ, ΜΘ, ΘΝ, ΝΕ τμήματα τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐλάττονα τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ ΕΖΗΘ κύκλος τοῦ Σ χωρίου.
그러므로 그러한 것들이 남았다고 하고, 원 EZHQ의 EK, KZ, ZL, LH, HM, MQ, QN, NE 위의 활꼴들이, 원 EZHQ가 영역 S를 초과하는 그 초과분보다 더 작다고 하자.
λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΚΖΛΗ ΜΘΝ πολύγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ Σ χωρίου.
따라서 남은 다각형 EKZLHMQN은 영역 S보다 더 크다.
ἐγγεγράφθω καὶ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τῷ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολυγώνῳ ὅμοιον πολύγωνον τὸ ΑΞΒΟΓΠΔΡ·
또한 원 ABGD에 다각형 EKZLHMQN과 닮은 다각형 AXBOGPDR을 내접시키자.
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον, οὕτως τὸ ΑΞΒΟΓΠΔΡ πολύγωνον πρὸς τὸ ΕΚΖΛ ΗΜΘΝ πολύγωνον.
그러므로 BD 위의 정사각형이 ZQ 위의 정사각형에 대한 비는, 다각형 AXBOGPDR이 다각형 EKZLHMQN에 대한 비와 같다.