§12.prop.2#1οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα.
圆彼此之比，等于直径上的正方形之比。
ἔστωσαν κύκλοι οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ, διάμετροι δὲ αὐτῶν αἱ ΒΔ, ΖΘ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον.
设圆为 ABGD、EZHQ，其直径为 BD、ZQ；我说，圆 ABGD 对圆 EZHQ，等于 BD 上的正方形对 ZQ 上的正方形。
εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, ἔσται ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον ἢ πρὸς μεῖζον.
因为如果圆 ABGD 对圆 EZHQ 不等于 BD 上的正方形对 ZQ 上的正方形，那么，BD 上的正方形对 ZQ 上的正方形，将等于圆 ABGD 对某个小于圆 EZHQ 的图形，或者对某个大于它的图形。
ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ Σ. καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ·
先设对较小的图形 S。
τὸ δὴ ἐγγεγραμμένον τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, ἐπειδήπερ ἐὰν διὰ τῶν ε, Ζ, Η, Θ σημείων ἐφαπτομένας τοῦ κύκλου ἀγάγωμεν, τοῦ περιγραφομένου περὶ τὸν κύκλον τετραγώνου ἥμισύ ἐστι τὸ ΕΖΗΘ τετράγωνον, τοῦ δὲ περιγραφέντος τετραγώνου ἐλάττων ἐστὶν ὁ κύκλος· ὥστε τὸ ΕΖΗΘ ἐγγεγραμμένον τετράγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμίσεως τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου.
且在圆 EZHQ 内内接正方形 EZHQ；那么，内接正方形大于圆 EZHQ 的一半，因为如果我们通过点 E、Z、H、Q 引圆的切线，正方形 EZHQ 是外切于该圆的正方形的一半，而圆小于该外切正方形；因此内接正方形 EZHQ 大于圆 EZHQ 的一半。
τετμήσθωσαν δίχα αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ περιφέρειαι κατὰ τὰ Κ, Λ, Μ, Ν σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΚ, ΚΖ, ΖΛ, ΛΗ, ΗΜ, ΜΘ, ΘΝ, ΝΕ· καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ, ΘΝΕ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθʼ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ κύκλου, ἐπειδήπερ ἐὰν διὰ τῶν Κ, Λ, Μ, Ν σημείων ἐφαπτομένας τοῦ κύκλου ἀγάγωμεν καὶ ἀναπληρώσωμεν τὰ ἐπὶ τῶν ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ εὐθειῶν παραλληλόγραμμα, ἕκαστον τῶν ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ, ΘΝΕ τριγώνων ἥμισυ ἔσται τοῦ καθʼ ἑαυτὸ παραλληλογράμμου, ἀλλὰ τὸ καθʼ ἑαυτὸ τμῆμα ἔλαττόν ἐστι τοῦ παραλληλογράμμου· ὥστε ἕκαστον τῶν ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ, ΘΝΕ τριγώνων μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμίσεως τοῦ καθʼ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ κύκλου.
设弧 EZ、ZH、HQ、QE 分别在点 K、L、M、N 处被二等分，连接 EK、KZ、ZL、LH、HM、MQ、QN、NE；于是三角形 EKZ、ZLH、HMQ、QNE 中的每一个，也大于各自对应的圆弓形的一半，因为如果我们通过点 K、L、M、N 引圆的切线，并补全在直线 EZ、ZH、HQ、QE 上的平行四边形，三角形 EKZ、ZLH、HMQ、QNE 中的每一个都将是各自对应平行四边形的一半，而对应的弓形小于该平行四边形；因此三角形 EKZ、ZLH、HMQ、QNE 中的每一个都大于各自对应的圆弓形的一半。
τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντες εὐθείας καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κύκλου, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ ΕΖΗΘ κύκλος τοῦ Σ χωρίου.
如此，通过将剩余的弧二等分并连接直线，并且不断这样做，我们将留下一些圆的弓形，它们将小于圆 EZHQ 超过图形 S 的差额。
ἐδείχθη γὰρ ἐν τῷ πρώτῳ θεωρήματι τοῦ δεκάτου βιβλίου, ὅτι δύο μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων, ἐὰν ἀπὸ τοῦ μείζονος ἀφαιρεθῇ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ καὶ τοῦ καταλειπομένου μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γίγνηται, λειφθήσεταί τι μέγεθος, ὃ ἔσται ἔλασσον τοῦ ἐκκειμένου ἐλάσσονος μεγέθους.
因为在第十卷的第一定理中已经证明：设有两个不等量，如果从较大者中减去大于其一半的量，再从剩余者中减去大于其一半的量，且不断这样做，将留下某个量，它将小于设定的较小量。
λελείφθω οὖν, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΕΚ, ΚΖ, ΖΛ, ΛΗ, ΗΜ, ΜΘ, ΘΝ, ΝΕ τμήματα τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐλάττονα τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ ΕΖΗΘ κύκλος τοῦ Σ χωρίου.
因此，设它们已被留下，并设在 EK、KZ、ZL、LH、HM、MQ、QN、NE 上的圆 EZHQ 的弓形，小于圆 EZHQ 超过图形 S 的差额。
λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΚΖΛΗ ΜΘΝ πολύγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ Σ χωρίου.
...因此，剩下的多边形 EKZLHMQN 大于图形 S。
ἐγγεγράφθω καὶ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τῷ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολυγώνῳ ὅμοιον πολύγωνον τὸ ΑΞΒΟΓΠΔΡ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον, οὕτως τὸ ΑΞΒΟΓΠΔΡ πολύγωνον πρὸς τὸ ΕΚΖΛ ΗΜΘΝ πολύγωνον.
且在圆 ABGD 内，内接一个与多边形 EKZLHMQN 相似的多边形 AXBOGPDR；因此，BD 上的正方形对 ZQ 上的正方形，等于多边形 AXBOGPDR 对多边形 EKZLHMQN。