§12.prop.1τὰ ἐν τοῖς κύκλοις ὅμοια πολύγωνα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα.
円の中にある相似な多角形は、互いに対して、直径の上の正方形と同じ比を持つ。
ἔστωσαν κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΖΗΘ, καὶ ἐν αὐτοῖς ὅμοια πολύγωνα ἔστω τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ, διάμετροι δὲ τῶν κύκλων ἔστωσαν αἱ ΒΜ, ΗΝ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΜ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΝ τετράγωνον, οὕτως τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΑΜ, ΗΛ, ΖΝ. καὶ ἐπεὶ ὅμοιον τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον τῷ ΖΗΘΚΛ πολυγώνῳ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΛ, καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΛ. δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΒΑΕ, ΗΖΛ μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα τὴν ὑπὸ ΒΑΕ τῇ ὑπὸ ΗΖΛ, περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΖΗΛ τριγώνῳ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΛΗ. ἀλλʼ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΕΒ τῇ ὑπὸ ΑΜΒ ἐστιν ἴση· ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς περιφερείας βεβήκασιν· ἡ δὲ ὑπὸ ΖΛΗ τῇ ὑπὸ ΖΝΗ· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΜΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΖΝΗ ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΑΜ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΗΖΝ ἴση· καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα τῇ λοιπῇ ἐστιν ἴση. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΜ τρίγωνον τῷ ΖΗΝ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΜ πρὸς τὴν ΗΝ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΗΖ. ἀλλὰ τοῦ μὲν τῆς ΒΜ πρὸς τὴν ΗΝ λόγου διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΜ τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΝ τετράγωνον, τοῦ δὲ τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΗΖ διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ΑΒΓΔΕ πολυγώνου πρὸς τὸ ΖΗ ΘΚΛ πολύγωνον· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΜ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΝ τετράγωνον, οὕτως τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον. τὰ ἄρα ἐν τοῖς κύκλοις ὅμοια πολύγωνα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
円 ΑΒΓ, ΖΗΘ があり、それらの中に相似な多角形 ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ があるとし、円の直径を ΒΜ, ΗΝ とせよ。私は言う、ΒΜ の上の正方形が ΗΝ の上の正方形に対する比は、多角形 ΑΒΓΔΕ が多角形 ΖΗΘΚΛ に対する比と同じである。なぜなら、ΒΕ, ΑΜ, ΗΛ, ΖΝ が結ばれたとせよ。そして多角形 ΑΒΓΔΕ は多角形 ΖΗΘΚΛ と相似であるから、角 ΒΑΕ も角 ΗΖΛ と等しく、ΒΑ が ΑΕ に対する比は、ΗΖ が ΖΛ に対する比と同じである。ここに二つの三角形 ΒΑΕ, ΗΖΛ があって、一つの角が一つの角と等しく、すなわち角 ΒΑΕ が角 ΗΖΛ と等しく、その等しい角を挟む辺が比例している。したがって、三角形 ΑΒΕ は三角形 ΖΗΛ と等角である。したがって、角 ΑΕΒ は角 ΖΛΗ と等しい。しかし、角 ΑΕΒ は角 ΑΜΒ と等しい。なぜなら、それらは同じ弧の上に立っているからである。また、角 ΖΛΗ は角 ΖΝΗ と等しい。したがって、角 ΑΜΒ も角 ΖΝΗ と等しい。また、直角である ΒΑΜ も直角である ΗΖΝ と等しい。したがって、残りの角も残りの角と等しい。したがって、三角形 ΑΒΜ は三角形 ΖΗΝ と等角である。したがって、比例して、ΒΜ が ΗΝ に対する比は、ΒΑ が ΗΖ に対する比と同じである。しかし、ΒΜ が ΗΝ に対する比の二倍比は、ΒΜ の上の正方形が ΗΝ の上の正方形に対する比であり、ΒΑ が ΗΖ に対する比の二倍比は、多角形 ΑΒΓΔΕ が多角形 ΖΗΘΚΛ に対する比である。したがって、ΒΜ の上の正方形が ΗΝ の上の正方形に対する比は、多角形 ΑΒΓΔΕ が多角形 ΖΗΘΚΛ に対する比と同じである。したがって、円の中にある相似な多角形は、互いに対して、直径の上の正方形と同じ比を持つ。これが証明すべきことであった。