§12.prop.11#2ὡς δὲ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς τὸ Ξ στερεόν, ὡς δὲ τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον πρὸς τὸ ΘΟΕΠΖ ΡΗΣ πολύγωνον, οὕτως ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μὲν τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸς τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μὲν τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον.
そして、円ABCDが円EZHThに対するように、円錐ALは立体Xに対する。 また、多角形DTAYBPhGChが多角形ThOEPZRHSに対するように、底面が多角形DTAYBPhGChであり頂点が点Lである錐体は、底面が多角形ThOEPZRHSであり頂点が点Nである錐体に対する。
καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς τὸ Ξ στερεόν, οὕτως ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μὲν τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸς τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μὲν τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον·
したがってまた、円錐ALが立体Xに対するように、底面が多角形DTAYBPhGChであり頂点が点Lである錐体は、底面が多角形ThOEPZRHSであり頂点が点Nである錐体に対する。
ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς τὴν ἐν αὐτῷ πυραμίδα, οὕτως τὸ Ξ στερεὸν πρὸς τὴν ἐν τῷ ΕΝ κώνῳ πυραμίδα.
ゆえに、交互に、円錐ALがその内部の錐体に対するように、立体Xは円錐ENの内部の錐体に対する。
μείζων δὲ ὁ ΑΛ κῶνος τῆς ἐν αὐτῷ πυραμίδος·
ところで、円錐ALはその内部の錐体よりも大きい。
μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Ξ στερεὸν τῆς ἐν τῷ ΕΝ κώνῳ πυραμίδος.
したがって、立体Xもまた円錐ENの内部の錐体よりも大きい。
ἀλλὰ καὶ ἔλασσον·
しかし、それはより小さくもある。
ὅπερ ἄτοπον.
これは不合理である。
οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεόν.
したがって、円ABCDが円EZHThに対する比は、円錐ALが円錐ENよりも小さいある立体に対する比ではない。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδέ ἐστιν ὡς ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως ὁ ΕΝ κῶνος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΑΛ κώνου στερεόν.
同様にして、円EZHThが円ABCDに対する比は、円錐ENが円錐ALよりも小さいある立体に対する比ではないことも、私たちは示すであろう。
λέγω δή, ὅτι οὐδέ ἐστιν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεόν.
そこで私は言う、円ABCDが円EZHThに対する比は、円錐ALが円錐ENよりも大きいある立体に対する比でもない、と。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸς μεῖζον τὸ Ξ·
なぜなら、もし可能であるなら、より大きい立体Xに対する比であるとせよ。
ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως τὸ Ξ στερεὸν πρὸς τὸν ΑΛ κῶνον.
すると、逆の比により、円EZHThが円ABCDに対するように、立体Xは円錐ALに対する。
ἀλλʼ ὡς τὸ Ξ στερεὸν πρὸς τὸν ΑΛ κῶνον, οὕτως ὁ ΕΝ κῶνος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΑΛ κώνου στερεόν·
しかし、立体Xが円錐ALに対するように、円錐ENは円錐ALよりも小さいある立体に対する。
καὶ ὡς ἄρα ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως ὁ ΕΝ κῶνος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΑΛ κώνου στερεόν·
したがってまた、円EZHThが円ABCDに対するように、円錐ENは円錐ALよりも小さいある立体に対する。
ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη.
しかしこれは不可能であると示された。
οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεόν.
したがって、円ABCDが円EZHThに対する比は、円錐ALが円錐ENよりも大きいある立体に対する比ではない。
ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλασσον·
また、より小さい立体に対する比でもないことが示された。
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς τὸν ΕΝ κῶνον.
したがって、円ABCDが円EZHThに対するように、円錐ALは円錐ENに対する。
ἀλλʼ ὡς ὁ κῶνος πρὸς τὸν κῶνον, ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν κύλινδρον·
ところで、円錐が円錐に対するように、円柱は円柱に対する。
τριπλασίων γὰρ ἑκάτερος ἑκατέρου.
なぜなら、それぞれはそれぞれの3倍だからである。
καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως οἱ ἐπʼ αὐτῶν ἰσοϋψεῖς κύλινδροι.
したがってまた、円ABCDが円EZHThに対するように、それらの上にある等しい高さの円柱は互いに対する。
οἱ ἄρα ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις·
したがって、同じ高さのもとにある円錐および円柱は、互いにそれらの底面と同じ比をもつ。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。