§12.prop.11#1οἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις.
同じ高さのもとにある円錐および円柱は、互いにそれらの底面と同じ比をもつ。
ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος κῶνοι καὶ κύλινδροι, ὧν βάσεις μὲν οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλοι, ἄξονες δὲ οἱ ΚΛ, ΜΝ, διάμετροι δὲ τῶν βάσεων αἱ ΑΓ, ΕΗ·
同じ高さのもとに複数の円錐および円柱があるとし、それらの底面を円ABCD、EZHThとし、軸を KL、MNとし、底面の直径をAC、EHとする。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς τὸν ΕΝ κῶνον.
私は言う、円ABCDが円EZHThに対するように、円錐ALは円錐ENに対する、と。
εἰ γὰρ μή, ἔσται ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεὸν ἢ πρὸς μεῖζον.
なぜなら、もしそうでないならば、円ABCDが円EZHThに対する比は、円錐ALが円錐ENよりも小さいある立体に対する比、あるいはより大きい立体に対する比となるであろう。
ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ Ξ, καὶ ᾧ ἔλασσόν ἐστι τὸ Ξ στερεὸν τοῦ ΕΝ κώνου, ἐκείνῳ ἴσον ἔστω τὸ Ψ στερεόν·
まず、より小さい立体Xに対する比であるとし、立体Xが円錐ENよりも小さいその差に、立体Psが等しいとせよ。
ὁ ΕΝ κῶνος ἄρα ἴσος ἐστὶ τοῖς Ξ, Ψ στερεοῖς.
したがって、円錐ENは立体X、Psに等しい。
ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ·
円EZHThに正方形EZHThを内接させよ。
τὸ ἄρα τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κύκλου.
すると、正方形は円の半分よりも大きい。
ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΕΖ ΗΘ τετραγώνου πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ κώνῳ·
正方形EZHThから、円錐と等しい高さの錐体を立ち上げよ。
ἡ ἄρα ἀνασταθεῖσα πυραμὶς μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κώνου, ἐπειδήπερ ἐὰν περιγράψωμεν περὶ τὸν κύκλον τετράγωνον, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ ἀναστήσωμεν πυραμίδα ἰσοϋψῆ τῷ κώνῳ, ἡ ἐγγραφεῖσα πυραμὶς ἥμισύ ἐστι τῆς περιγραφείσης·
すると、立ち上げられた錐体は円錐の半分よりも大きい。 なぜなら、もし私たちが円の周りに正方形を外接させ、それから円錐と等しい高さの錐体を立ち上げるならば、内接された錐体は外接された錐体の半分だからである。
πρὸς ἀλλήλας γάρ εἰσιν ὡς αἱ βάσεις· ἐλάττων δὲ ὁ κῶνος τῆς περιγραφείσης πυραμίδος.
なぜなら、それらは互いにそれらの底面と同じ比をもつからであり、また円錐は外接された錐体よりも小さいからである。
τετμήσθωσαν αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ο, Π, Ρ, Σ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΟ, ΟΕ, ΕΠ, ΠΖ, ΖΡ, ΡΗ, ΗΣ, ΣΘ. ἕκαστον ἄρα τῶν ΘΟΕ, ΕΠΖ, ΖΡΗ, ΗΣΘ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθʼ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ κύκλου.
弧EZ、ZH、HTh、ThEを点O、P、R、Sにおいて2等分し、ThO、OE、EP、PZ、 ZR、RH、HS、SThを結べ。 すると、三角形ThOE、EPZ、ZRH、HSThのそれぞれは、円のそれぞれの対応する弓形部分の半分より大きい。
ἀνεστάτω ἐφʼ ἑκάστου τῶν ΘΟΕ, ΕΠΖ, ΖΡΗ, ΗΣΘ τριγώνων πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ κώνῳ·
三角形ThOE、EPZ、ZRH、HSThのそれぞれの上に、円錐と等しい高さの錐体を立ち上げよ。
καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνασταθεισῶν πυραμίδων μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθʼ ἑαυτὴν τμήματος τοῦ κώνου.
するとまた、立ち上げられた各錐体もまた円錐のそれぞれの対応する部分の半分よりも大きい。
τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντες εὐθείας καὶ ἀνιστάντες ἐπὶ ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδας ἰσοϋψεῖς τῷ κώνῳ καὶ ἀεὶ τοῦτο ποιοῦντες καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κώνου, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τοῦ Ψ στερεοῦ.
そこで、残された弧を2等分し、直線を結び、各三角形の上に円錐と等しい高さの錐体を立ち上げ、これを常に繰り返すならば、私たちは円錐のいくつかの残りの部分を残すことになり、これらは立体Psよりも小さくなるであろう。
λελείφθω, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΘΟΕ, ΕΠΖ, ΖΡΗ, ΗΣΘ·
それらが残されたとし、それらをThOE、EPZ、ZRH、HSThの上のものとせよ。
λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς, ἧς βάσις τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ, μείζων ἐστὶ τοῦ Ξ στερεοῦ.
したがって、底面が多角形ThOEPZRHSであり、高さが円錐と同じである残りの錐体は、立体Xよりも大きい。
ἐγγεγράφθω καὶ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τῷ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολυγώνῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον πολύγωνον τὸ ΔΤΑΥΒ ΦΓΧ, καὶ ἀνεστάτω ἐπʼ αὐτοῦ πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ ΑΛ κώνῳ.
円ABCDにも多角形ThOEPZRHSに相似であり同様に置かれた多角形DTAYBPhGChを内接させ、その上に円錐ALと等しい高さの錐体を立ち上げよ。
ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ, οὕτως τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον πρὸς τὸ ΘΟΕ ΠΖΡΗΣ πολύγωνον, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον πρὸς τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον.
ところで、AC上の正方形がEH上の正方形に対する比は、多角形DTAYBPhGChが多角形 ThOEPZRHSに対する比と同じであり、またAC上の正方形がEH上の正方形に対する比は、円ABCDが円EZHThに対する比と同じであるから、したがってまた、円ABCDが円EZHThに対する比は、多角形DTAYBPhGChが多角形ThOEPZRHSに対する比と同じである。