§12.prop.11#2ὡς δὲ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς τὸ Ξ στερεόν, ὡς δὲ τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον πρὸς τὸ ΘΟΕΠΖ ΡΗΣ πολύγωνον, οὕτως ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μὲν τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸς τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μὲν τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον.
그리고 원 ABCD가 원 EZHTh에 대한 비는 원뿔 AL이 입체 X에 대한 비와 같고, 다각형 DTAYBPhGCh가 다각형 ThOEPZRHS에 대한 비는 밑면은 다각형 DTAYBPhGCh이고 꼭짓점은 점 L인 각뿔이 밑면은 다각형 ThOEPZRHS이고 꼭짓점은 점 N인 각뿔에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς τὸ Ξ στερεόν, οὕτως ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μὲν τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸς τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μὲν τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον·
따라서 원뿔 AL이 입체 X에 대한 비는 밑면은 다각형 DTAYBPhGCh이고 꼭짓점은 점 L인 각뿔이 밑면은 다각형 ThOEPZRHS이고 꼭짓점은 점 N인 각뿔에 대한 비와 같다.
ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς τὴν ἐν αὐτῷ πυραμίδα, οὕτως τὸ Ξ στερεὸν πρὸς τὴν ἐν τῷ ΕΝ κώνῳ πυραμίδα.
그러므로 교대로, 원뿔 AL이 그 안에 있는 각뿔에 대한 비는 입체 X가 원뿔 EN 안에 있는 각뿔에 대한 비와 같다.
μείζων δὲ ὁ ΑΛ κῶνος τῆς ἐν αὐτῷ πυραμίδος·
그런데 원뿔 AL은 그 안에 있는 각뿔보다 크다.
μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Ξ στερεὸν τῆς ἐν τῷ ΕΝ κώνῳ πυραμίδος.
그러므로 입체 X도 원뿔 EN 안에 있는 각뿔보다 크다.
ἀλλὰ καὶ ἔλασσον·
그러나 그것은 또한 더 작기도 하다.
ὅπερ ἄτοπον.
이것은 모순이다.
οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεόν.
그러므로 원 ABCD가 원 EZHTh에 대한 비는 원뿔 AL이 원뿔 EN보다 작은 어떤 입체에 대한 비와 같지 않다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδέ ἐστιν ὡς ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως ὁ ΕΝ κῶνος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΑΛ κώνου στερεόν.
이와 같이, 원 EZHTh가 원 ABCD에 대한 비는 원뿔 EN이 원뿔 AL보다 작은 어떤 입체에 대한 비와 같지 않음도 보일 수 있을 것이다.
λέγω δή, ὅτι οὐδέ ἐστιν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεόν.
이제 나는 주장한다, 원 ABCD가 원 EZHTh에 대한 비는 원뿔 AL이 원뿔 EN보다 큰 어떤 입체에 대한 비와 같지도 않다고.
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸς μεῖζον τὸ Ξ·
왜냐하면 만약 가능하다면, 더 큰 입체 X에 대한 비라고 하자.
ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως τὸ Ξ στερεὸν πρὸς τὸν ΑΛ κῶνον.
그러면 거꾸로, 원 EZHTh가 원 ABCD에 대한 비는 입체 X가 원뿔 AL에 대한 비와 같다.
ἀλλʼ ὡς τὸ Ξ στερεὸν πρὸς τὸν ΑΛ κῶνον, οὕτως ὁ ΕΝ κῶνος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΑΛ κώνου στερεόν·
그러나 입체 X가 원뿔 AL에 대한 비는 원뿔 EN이 원뿔 AL보다 작은 어떤 입체에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως ὁ ΕΝ κῶνος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΑΛ κώνου στερεόν·
따라서 또한 원 EZHTh가 원 ABCD에 대한 비는 원뿔 EN이 원뿔 AL보다 작은 어떤 입체에 대한 비와 같다.
ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη.
이것은 불가능하다고 증명되었다.
οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεόν.
그러므로 원 ABCD가 원 EZHTh에 대한 비는 원뿔 AL이 원뿔 EN보다 큰 어떤 입체에 대한 비와 같지 않다.
ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλασσον·
또한 더 작은 입체에 대한 비도 아님이 증명되었다.
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς τὸν ΕΝ κῶνον.
그러므로 원 ABCD가 원 EZHTh에 대한 비는 원뿔 AL이 원뿔 EN에 대한 비와 같다.
ἀλλʼ ὡς ὁ κῶνος πρὸς τὸν κῶνον, ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν κύλινδρον·
그런데 원뿔이 원뿔에 대한 비는 원기둥이 원기둥에 대한 비와 같다.
τριπλασίων γὰρ ἑκάτερος ἑκατέρου.
왜냐하면 각각의 원기둥은 각각의 원뿔의 세 배이기 때문이다.
καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως οἱ ἐπʼ αὐτῶν ἰσοϋψεῖς κύλινδροι.
따라서 또한 원 ABCD가 원 EZHTh에 대한 비는 그것들 위에 세워진 높이가 같은 원기둥들이 서로에 대한 비와 같다.
οἱ ἄρα ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις·
그러므로 같은 높이 아래에 있는 원뿔들과 원기둥들은 서로 밑면의 비와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.