§12.prop.12#1οἱ ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ἐν ταῖς βάσεσι διαμέτρων.
類似する円錐および円柱は、互いに、底面にある直径の3乗の比（3倍の比）をもつ。
ἔστωσαν ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι, ὧν βάσεις μὲν οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλοι, διάμετροι δὲ τῶν βάσεων αἱ ΒΔ, ΖΘ, ἄξονες δὲ τῶν κώνων καὶ κυλίνδρων οἱ ΚΛ, ΜΝ·
類似する円錐および円柱があるとし、それらの底面を円ABCD, EZHThとし、底面の直径を BD, ZThとし、円錐および円柱の軸をKL, MNとせよ。
λέγω, ὅτι ὁ κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸς τὸν κῶνον, οὗ βάσις μὲν ὁ ΕΖΗΘ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ.
εἰ γὰρ μὴ ἔχει ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος πρὸς τὸν ΕΖΗΘΝ κῶνον τριπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ, ἕξει ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος ἢ πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘΝ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἢ πρὸς μεῖζον.
私は言う、底面が円ABCDであり頂点が点Lである円錐は、底面が円EZHThであり頂点が点Nである円錐に対して、BDのZThに対する比の3乗の比（3倍の比）をもつ、と。 なぜなら、もし円錐ABCDLが円錐EZHThNに対して、BDのZThに対する比の3乗の比をもたないならば、円錐ABCDLは、円錐EZHThNよりも小さいある立体に対して3乗の比をもつか、あるいはより大きい立体に対してそれをもつであろう。
ἐχέτω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ Ξ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ·
まず、より小さい立体Xに対してそれをもつとせよ。 そして円EZHThに正方形EZHThを内接させよ。
τὸ ἄρα ΕΖΗΘ τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου.
したがって、正方形EZHThは円EZHThの半分よりも大きい。
καὶ ἀνεστάτω ἐπὶ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου πυραμὶς τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ·
そして、正方形EZHThの上に、円錐と同じ頂点をもつ錐体を立ち上げよ。
ἡ ἄρα ἀνασταθεῖσα πυραμὶς μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ κώνου.
したがって、立ち上げられた錐体は、円錐の半分よりも大きい。
τετμήσθωσαν δὴ αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ο, Π, Ρ, Σ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΟ, ΟΖ, ΖΠ, ΠΗ, ΗΡ, ΡΘ, ΘΣ, ΣΕ. καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ΕΟΖ, ΖΠΗ, ΗΡΘ, ΘΣΕ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ καθʼ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου.
そこで、弧EZ, ZhH, HTh, ThEを点O, P, R, Sにおいて2等分し、線分EO, OZ, ZP, PH, HR, RTh, ThS, SEを結べ。 したがって、三角形EOZ, ZPH, HRTh, ThSEのそれぞれは、円EZHThのそれぞれ自身に対する弓形の半分よりも大きい。
καὶ ἀνεστάτω ἐφʼ ἑκάστου τῶν ΕΟΖ, ΖΠΗ, ΗΡΘ, ΘΣΕ τριγώνων πυραμὶς τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ·
そして、三角形EOZ, ZPH, HRTh, ThSEのそれぞれの上に、円錐と同じ頂点をもつ錐体を立ち上げよ。
καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνασταθεισῶν πυραμίδων μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ καθʼ ἑαυτὴν τμήματος τοῦ κώνου.
したがって、立ち上げられた錐体のそれぞれもまた、円錐のそれぞれ自身に対する部分の半分よりも大きい。
τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντες εὐθείας καὶ ἀνιστάντες ἐφʼ ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδας τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἐχούσας τῷ κώνῳ καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κώνου, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος τοῦ Ξ στερεοῦ.
そこで、残された弧を2等分し、直線を結び、三角形のそれぞれの上に円錐と同じ頂点をもつ錐体を立ち上げ、これを常に繰り返すなら、私たちは、円錐EZHThNが立体Xを超えている超過分よりも小さくなるような、円錐のいくつかの切り残された部分を残すことになるであろう。
λελείφθω, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΕΟ, ΟΖ, ΖΠ, ΠΗ, ΗΡ, ΡΘ, ΘΣ, ΣΕ·
それらが残されたとし、EO, OZ, ZP, PH, HR, RTh, ThS, SEの上にある部分であるとせよ。
λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, μείζων ἐστὶ τοῦ Ξ στερεοῦ.
したがって、底面が多角形EOZPHRThSであり頂点が点Nである残りの錐体は、立体Xよりも大きい。
ἐγγεγράφθω καὶ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τῷ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολυγώνῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον πολύγωνον τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ, καὶ ἀνεστάτω ἐπὶ τοῦ ΑΤΒΥΓΦΔΧ πολυγώνου πυραμὶς τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ, καὶ τῶν μὲν περιεχόντων τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΤΒΥ ΓΦΔΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, ἓν τρίγωνον ἔστω τὸ ΛΒΤ, τῶν δὲ περιεχόντων τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, ἓν τρίγωνον ἔστω τὸ ΝΖΟ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΤ, ΜΟ. καὶ ἐπεὶ ὅμοιός ἐστιν ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος τῷ ΕΖΗΘΝ κώνῳ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ, οὕτως ὁ ΚΛ ἄξων πρὸς τὸν ΜΝ ἄξονα.
また、円ABCDに、多角形EOZPHRThSに相似であり、かつ同様に置かれた多角形ATBYGPhDChを内接させよ。 そして、多角形ATBYGPhDChの上に、円錐と同じ頂点をもつ錐体を立ち上げよ。 そして、底面が多角形ATBYGPhDChであり頂点が点Lである錐体を囲む面のうち、1つの三角形を LBTとし、底面が多角形EOZPHRThSであり頂点が点Nである錐体を囲む面のうち、1つの三角形をNZOとせよ。 そして、KT, MOを結べ。 そして、円錐ABCDLは円錐EZHThNに類似しているので、したがって、BDがZThに対するように、軸KLは軸MNに対する。
ὡς δὲ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ, οὕτως ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΖΜ·
ところが、BDがZThに対するように、BKはZMに対する。
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΖΜ, οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΜΝ. καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΚΛ, οὕτως ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ΜΝ.
したがってまた、BKがZMに対するように、KLはMNに対する。 そして交互に、BKがKLに対するように、ZMはMNに対する。