§11.prop.38ἐὰν κύβου τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων αἱ πλευραὶ δίχα τμηθῶσιν, διὰ δὲ τῶν τομῶν ἐπίπεδα ἐκβληθῇ, ἡ κοινὴ τομὴ τῶν ἐπιπέδων καὶ ἡ τοῦ κύβου διάμετρος δίχα τέμνουσιν ἀλλήλας.
もし立方体の、対向する面の辺が二等分され、その分割点を通って平面が延長されるならば、それらの平面の交線と立方体の対角線は互いに二等分し合う。
κύβου γὰρ τοῦ ΑΖ τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων τῶν ΓΖ, ΑΘ αἱ πλευραὶ δίχα τετμήσθωσαν κατὰ τὰ Κ, Λ, Μ, Ν, Ξ, Π, Ο, Ρ σημεῖα, διὰ δὲ τῶν τομῶν ἐπίπεδα ἐκβεβλήσθω τὰ ΚΝ, ΞΡ, κοινὴ δὲ τομὴ τῶν ἐπιπέδων ἔστω ἡ ΥΣ, τοῦ δὲ ΑΖ κύβου διαγώνιος ἡ ΔΗ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΥΤ τῇ ΤΣ, ἡ δὲ ΔΤ τῇ ΤΗ.
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΔΥ, ΥΕ, ΒΣ, ΣΗ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΔΞ τῇ ΟΕ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΔΞΥ, ΥΟΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
なぜなら、立方体 ΑΖ の対向する面 ΓΖ, ΑΘ の辺が、点 Κ, Λ, Μ, Ν, Ξ, Π, Ο, Ρ において二等分されたとし、それらの分割点を通って平面 ΚΝ, ΞΡ が延長されたとし、それらの平面の交線を ΥΣ とし、立方体 ΑΖ の対角線を ΔΗ とせよ。 私は言う、 ΥΤ は ΤΣ に等しく、ΔΤ は ΤΗ に等しい、と。 なぜなら、ΔΥ, ΥΕ, ΒΣ, ΣΗ が結ばれたとせよ。 そして、ΔΞ は ΟΕ に平行であるから、錯角である角 ΔΞΥ, ΥΟΕ は互いに等しい。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΞ τῇ ΟΕ, ἡ δὲ ΞΥ τῇ ΥΟ, καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΔΥ τῇ ΥΕ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΔΞΥ τρίγωνον τῷ ΟΥΕ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι·
...そして、ΔΞ は ΟΕ に等しく、ΞΥ は ΥΟ に等しく、かつ等しい角を挟んでいるから、したがって底辺 ΔΥ は ΥΕ に等しく、三角形 ΔΞΥ は三角形 ΟΥΕ に等しく、残りの角も残りの角にそれぞれ等しい。
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΞΥΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΟΥΕ γωνίᾳ.
したがって、角 ΞΥΔ は角 ΟΥΕ に等しい。
διὰ δὴ τοῦτο εὐθεῖά ἐστιν ἡ ΔΥΕ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΣΗ εὐθεῖά ἐστιν, καὶ ἴση ἡ ΒΣ τῇ ΣΗ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΑ τῇ ΔΒ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος, ἀλλὰ ἡ ΓΑ καὶ τῇ ΕΗ ἴση τέ ἐστι καὶ παράλληλος, καὶ ἡ ΔΒ ἄρα τῇ ΕΗ ἴση τέ ἐστι καὶ παράλληλος.
まさにこのことによって、ΔΥΕ は一直線である。 同じ理由により、ΒΣΗ も一直線であり、ΒΣ は ΣΗ に等しい。 そして、ΓΑ は ΔΒ に等しくかつ平行であるが、ΓΑ は ΕΗ にも等しくかつ平行であるから、したがって ΔΒ も ΕΗ に等しくかつ平行である。
καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς εὐθεῖαι αἱ ΔΕ, ΒΗ·
...そして、直線 ΔΕ, ΒΗ がそれらを結んでいる。
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΒΗ. ἴση ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ ΕΔΤ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΗΤ·
したがって、ΔΕ は ΒΗ に平行である。 したがって、角 ΕΔΤ は角 ΒΗΤ に等しい。
ἐναλλὰξ γάρ·
なぜなら、それらは錯角だからである。
ἡ δὲ ὑπὸ ΔΤΥ τῇ ὑπὸ ΗΤΣ. δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΔΤΥ, ΗΤΣ τὰς δύο γωνίας ταῖς δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν τὴν ΔΥ τῇ ΗΣ· ἡμίσειαι γάρ εἰσι τῶν ΔΕ, ΒΗ·
また、角 ΔΤΥ は角 ΗΤΣ に等しい。 ここで、2つの三角形 ΔΤΥ, ΗΤΣ は、2つの角が2つの角にそれぞれ等しく、1つの辺が1つの辺に等しい。 すなわち、等しい角の1つの下に対向する辺 ΔΥ が ΗΣ に等しい（なぜなら、これらは ΔΕ, ΒΗ の半分だからである）。
καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει.
したがって、残りの辺も残りの辺に等しいであろう。
ἴση ἄρα ἡ μὲν ΔΤ τῇ ΤΗ, ἡ δὲ ΥΤ τῇ ΤΣ.
ἐὰν ἄρα κύβου τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων αἱ πλευραὶ δίχα τμηθῶσιν, διὰ δὲ τῶν τομῶν ἐπίπεδα ἐκβληθῇ, ἡ κοινὴ τομὴ τῶν ἐπιπέδων καὶ ἡ τοῦ κύβου διάμετρος δίχα τέμνουσιν ἀλλήλας·
したがって、ΔΤ は ΤΗ に等しく、ΥΤ は ΤΣ に等しい。 したがって、もし立方体の、対向する面の辺が二等分され、その分割点を通って平面が延長されるならば、それらの平面の交線と立方体の対角線は二等分し合う。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§11.prop.39ἐὰν ᾖ δύο πρίσματα ἰσοϋψῆ, καὶ τὸ μὲν ἔχῃ βάσιν παραλληλόγραμμον, τὸ δὲ τρίγωνον, διπλάσιον δὲ ᾖ τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου, ἴσα ἔσται τὰ πρίσματα.
もし2つの角柱が等しい高さを持ち、一方が平行四辺形を底面とし、他方が三角形を底面とし、その平行四辺形が三角形の二倍であるならば、それらの角柱は等しいであろう。
ἔστω δύο πρίσματα ἰσοϋψῆ τὰ ΑΒΓΔΕΖ, ΗΘΚΛ ΜΝ, καὶ τὸ μὲν ἐχέτω βάσιν τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον, τὸ δὲ τὸ ΗΘΚ τρίγωνον, διπλάσιον δὲ ἔστω τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον τοῦ ΗΘΚ τριγώνου·
2つの等しい高さを持つ角柱を ΑΒΓΔΕΖ, ΗΘΚΛ ΜΝ とし、一方は平行四辺形 ΑΖ を底面とし、他方は三角形 ΗΘΚ を底面とし、平行四辺形 ΑΖ は三角形 ΗΘΚ の二倍であるとする。
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα τῷ ΗΘΚΛΜΝ πρίσματι.
私は言う、角柱 ΑΒΓΔΕΖ は角柱 ΗΘΚΛΜΝ に等しい、と。
συμπεπληρώσθω γὰρ τὰ ΑΞ, ΗΟ στερεά.
なぜなら、立体 ΑΞ, ΗΟ が完成されたとせよ。
ἐπεὶ διπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον τοῦ ΗΘΚ τριγώνου, ἔστι δὲ καὶ τὸ ΘΚ παραλληλόγραμμον διπλάσιον τοῦ ΗΘΚ τριγώνου, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον τῷ ΘΚ παραλληλογράμμῳ.
平行四辺形 ΑΖ は三角形 ΗΘΚ の二倍であり、また平行四辺形 ΘΚ も三角形 ΗΘΚ の二倍であるから、したがって平行四辺形 ΑΖ は平行四辺形 ΘΚ に等しい。
τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
等しい底面の上にありかつ同じ高さを持つ平行六面体立体は互いに等しい。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΞ στερεὸν τῷ ΗΟ στερεῷ.
したがって、立体 ΑΞ は立体 ΗΟ に等しい。
καί ἐστι τοῦ μὲν ΑΞ στερεοῦ ἥμισυ τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα, τοῦ δὲ ΗΟ στερεοῦ ἥμισυ τὸ ΗΘΚΛΜΝ πρίσμα·
そして、角柱 ΑΒΓΔΕΖ は立体 ΑΞ の半分であり、角柱 ΗΘΚΛΜΝ は立体 ΗΟ の半分である。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα τῷ ΗΘΚΛΜΝ πρίσματι.
したがって、角柱 ΑΒΓΔΕΖ は角柱 ΗΘΚΛΜΝ に等しい。
ἐὰν ἄρα ᾖ δύο πρίσματα ἰσοϋψῆ, καὶ τὸ μὲν ἔχῃ βάσιν παραλληλόγραμμον, τὸ δὲ τρίγωνον, διπλάσιον δὲ ᾖ τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου, ἴσα ἐστὶ τὰ πρίσματα·
したがって、もし2つの角柱が等しい高さを持ち、一方が底面として平行四辺形を持ち、他方が三角形を持ち、平行四辺形が三角形の二倍であるならば、それらの角柱は等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。