§11.prop.38ἐὰν κύβου τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων αἱ πλευραὶ δίχα τμηθῶσιν, διὰ δὲ τῶν τομῶν ἐπίπεδα ἐκβληθῇ, ἡ κοινὴ τομὴ τῶν ἐπιπέδων καὶ ἡ τοῦ κύβου διάμετρος δίχα τέμνουσιν ἀλλήλας.
만일 정육면체의 대향하는 면들의 변들이 이등분되고, 그 분할점들을 지나는 평면들이 연장된다면, 그 평면들의 교선과 정육면체의 대각선은 서로를 이등분한다.
κύβου γὰρ τοῦ ΑΖ τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων τῶν ΓΖ, ΑΘ αἱ πλευραὶ δίχα τετμήσθωσαν κατὰ τὰ Κ, Λ, Μ, Ν, Ξ, Π, Ο, Ρ σημεῖα, διὰ δὲ τῶν τομῶν ἐπίπεδα ἐκβεβλήσθω τὰ ΚΝ, ΞΡ, κοινὴ δὲ τομὴ τῶν ἐπιπέδων ἔστω ἡ ΥΣ, τοῦ δὲ ΑΖ κύβου διαγώνιος ἡ ΔΗ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΥΤ τῇ ΤΣ, ἡ δὲ ΔΤ τῇ ΤΗ.
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΔΥ, ΥΕ, ΒΣ, ΣΗ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΔΞ τῇ ΟΕ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΔΞΥ, ΥΟΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
정육면체 AZ의 대향하는 면들인 GF, AQ의 변들이 점 K, L, M, N, X, P, O, R에서 이등분되었다 하고, 그 분할점들을 지나는 평면 KN, XR이 연장되었으며, 그 평면들의 교선을 YS라 하고, 정육면체 AZ의 대각선을 DH라 하자. 나는 말한다, YT는 TS와 같고, DT는 TH와 같다. 왜냐하면 DY, YE, BS, SH를 이었다고 하자. 그리고 DX는 OE와 평행하므로, 엇각인 각 DXY, YOE는 서로 같다.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΞ τῇ ΟΕ, ἡ δὲ ΞΥ τῇ ΥΟ, καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΔΥ τῇ ΥΕ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΔΞΥ τρίγωνον τῷ ΟΥΕ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι·
그리고 DX는 OE와 같고, XY는 YO와 같으며, 또한 같은 각들을 끼고 있으므로, 따라서 밑변 DY는 YE와 같고, 삼각형 DXY는 삼각형 OYE와 같으며, 나머지 각들도 나머지 각들과 각각 같다.
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΞΥΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΟΥΕ γωνίᾳ.
그러므로 각 XYD는 각 OYE와 같다.
διὰ δὴ τοῦτο εὐθεῖά ἐστιν ἡ ΔΥΕ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΣΗ εὐθεῖά ἐστιν, καὶ ἴση ἡ ΒΣ τῇ ΣΗ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΑ τῇ ΔΒ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος, ἀλλὰ ἡ ΓΑ καὶ τῇ ΕΗ ἴση τέ ἐστι καὶ παράλληλος, καὶ ἡ ΔΒ ἄρα τῇ ΕΗ ἴση τέ ἐστι καὶ παράλληλος.
바로 이 때문에 DYE는 한 직선이다. 같은 이유로 BSH도 한 직선이며, BS는 SH와 같다. 그리고 GA는 DB와 같고 평행하지만, GA는 EH와도 같고 평행하므로, 따라서 DB도 EH와 같고 평행하다.
καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς εὐθεῖαι αἱ ΔΕ, ΒΗ·
그리고 직선 DE, BH가 그것들을 잇고 있다.
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΒΗ. ἴση ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ ΕΔΤ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΗΤ·
그러므로 DE는 BH와 평행하다. 따라서 각 EDT는 각 BHT와 같다.
ἐναλλὰξ γάρ·
왜냐하면 그것들은 엇각이기 때문이다.
ἡ δὲ ὑπὸ ΔΤΥ τῇ ὑπὸ ΗΤΣ. δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΔΤΥ, ΗΤΣ τὰς δύο γωνίας ταῖς δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν τὴν ΔΥ τῇ ΗΣ· ἡμίσειαι γάρ εἰσι τῶν ΔΕ, ΒΗ·
또한 각 DTY는 각 HTS와 같다. 여기에 두 삼각형 DTY, HTS가 있어서 두 각이 두 각과 각각 같고, 한 변이 한 변과 같으니, 곧 같은 각들 중 하나의 대변인 DY가 HS와 같다(왜냐하면 이것들은 DE, BH의 절반이기 때문이다).
καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει.
그러므로 그것들은 나머지 변들도 나머지 변들과 각각 같을 것이다.
ἴση ἄρα ἡ μὲν ΔΤ τῇ ΤΗ, ἡ δὲ ΥΤ τῇ ΤΣ.
ἐὰν ἄρα κύβου τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων αἱ πλευραὶ δίχα τμηθῶσιν, διὰ δὲ τῶν τομῶν ἐπίπεδα ἐκβληθῇ, ἡ κοινὴ τομὴ τῶν ἐπιπέδων καὶ ἡ τοῦ κύβου διάμετρος δίχα τέμνουσιν ἀλλήλας·
그러므로 DT는 TH와 같고, YT는 TS와 같다. 그러므로 만일 정육면체의 대향하는 면들의 변들이 이등분되고, 그 분할점들을 지나는 평면들이 연장된다면, 그 평면들의 교선과 정육면체의 대각선은 서로를 이등분 한다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
§11.prop.39ἐὰν ᾖ δύο πρίσματα ἰσοϋψῆ, καὶ τὸ μὲν ἔχῃ βάσιν παραλληλόγραμμον, τὸ δὲ τρίγωνον, διπλάσιον δὲ ᾖ τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου, ἴσα ἔσται τὰ πρίσματα.
만일 높이가 같은 두 각기둥이 있고, 하나는 평행사변형을 밑면으로 하고 다른 하나는 삼각형을 밑면으로 하며, 평행사변형이 삼각형의 두 배라면, 그 각기둥들은 같을 것이다.
ἔστω δύο πρίσματα ἰσοϋψῆ τὰ ΑΒΓΔΕΖ, ΗΘΚΛ ΜΝ, καὶ τὸ μὲν ἐχέτω βάσιν τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον, τὸ δὲ τὸ ΗΘΚ τρίγωνον, διπλάσιον δὲ ἔστω τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον τοῦ ΗΘΚ τριγώνου·
높이가 같은 두 각기둥을 ABGDEZ, HQKL MN이라 하고, 하나는 평행사변형 AZ를 밑면으로 하고 다른 하나는 삼각형 HQK를 밑면으로 하며, 평행사변형 AZ는 삼각형 HQK의 두 배라고 하자.
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα τῷ ΗΘΚΛΜΝ πρίσματι.
나는 말한다, 각기둥 ABGDEZ는 각기둥 HQKLMN과 같다.
συμπεπληρώσθω γὰρ τὰ ΑΞ, ΗΟ στερεά.
왜냐하면 입체 AX, HO가 완성되었다고 하자.
ἐπεὶ διπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον τοῦ ΗΘΚ τριγώνου, ἔστι δὲ καὶ τὸ ΘΚ παραλληλόγραμμον διπλάσιον τοῦ ΗΘΚ τριγώνου, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον τῷ ΘΚ παραλληλογράμμῳ.
평행사변형 AZ는 삼각형 HQK의 두 배이고, 평행사변형 QK도 삼각형 HQK의 두 배이므로, 따라서 평행사변형 AZ는 평행사변형 QK와 같다.
τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
그런데 같은 밑면 위에 있고 높이가 같은 평행육면체 입체들은 서로 같다.
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΞ στερεὸν τῷ ΗΟ στερεῷ.
그러므로 입체 AX는 입체 HO와 같다.
καί ἐστι τοῦ μὲν ΑΞ στερεοῦ ἥμισυ τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα, τοῦ δὲ ΗΟ στερεοῦ ἥμισυ τὸ ΗΘΚΛΜΝ πρίσμα·
그리고 각기둥 ABGDEZ는 입체 AX의 절반이고, 각기둥 HQKLMN은 입체 HO의 절반이다.
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα τῷ ΗΘΚΛΜΝ πρίσματι.
그러므로 각기둥 ABGDEZ는 각기둥 HQKLMN과 같다.
ἐὰν ἄρα ᾖ δύο πρίσματα ἰσοϋψῆ, καὶ τὸ μὲν ἔχῃ βάσιν παραλληλόγραμμον, τὸ δὲ τρίγωνον, διπλάσιον δὲ ᾖ τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου, ἴσα ἐστὶ τὰ πρίσματα·
그러므로 만일 높이가 같은 두 각기둥이 있고, 하나는 밑면으로 평행사변형을 가지고 다른 하나는 삼각형을 가지며, 평행사변형이 삼각형의 두 배라면, 그 각기둥들은 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.