§11.prop.36ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ ἰσοπλεύρῳ μέν, ἰσογωνίῳ δὲ τῷ προειρημένῳ.
もし3つの直線が比例するならば、それら3つの直線から作られる平行六面体立体は、中項の直線から作られ、等辺であり、かつ前述の立体と等角である平行六面体立体に等しい。
ἔστωσαν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α, Β, Γ, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ·
3つの比例する直線を Α, Β, Γ とし、Α の Β に対する比は Β の Γ に対する比に等しいとする。
λέγω, ὅτι τὸ ἐκ τῶν Α, Β, Γ στερεὸν ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β στερεῷ ἰσοπλεύρῳ μέν, ἰσογωνίῳ δὲ τῷ προειρημένῳ.
私は言う、Α, Β, Γ から作られる立体は、Β から作られ、等辺であり、かつ前述の立体と等角である立体に等しい、と。
Ἐκκείσθω στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ Ε περιεχομένη ὑπὸ τῶν ὑπὸ ΔΕΗ, ΗΕΖ, ΖΕΔ, καὶ κείσθω τῇ μὲν Β ἴση ἑκάστη τῶν ΔΕ, ΗΕ, ΕΖ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΕΚ στερεὸν παραλληλεπίπεδον, τῇ δὲ Α ἴση ἡ ΛΜ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΛΜ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Λ τῇ πρὸς τῷ Ε στερεᾷ γωνίᾳ ἴση στερεὰ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΝΛΞ, ΞΛΜ, ΜΛΝ, καὶ κείσθω τῇ μὲν Β ἴση ἡ ΛΞ, τῇ δὲ Γ ἴση ἡ ΛΝ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἴση δὲ ἡ μὲν Α τῇ ΛΜ, ἡ δὲ Β ἑκατέρᾳ τῶν ΛΞ, ΕΔ, ἡ δὲ Γ τῇ ΛΝ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΛΜ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΛΝ. καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΝΛΜ, ΔΕΖ αἱ πλευραὶ ἀντιπεπόνθασιν·
Ε における立体角であって、角 ΔΕΗ, ΗΕΖ, ΖΕΔ によって囲まれているものを設定し、ΔΕ, ΗΕ, ΕΖ のそれぞれを Β に等しく置き、そして平行六面体立体 ΕΚ を完成させよ。 また、Α に等しい直線 ΛΜ を取り、直線 ΛΜ およびその上にある点 Λ において、Ε における立体角に等しい立体角であって、角 ΝΛΞ, ΞΛΜ, ΜΛΝ によって囲まれているものを構成せよ。 そして、ΛΞ を Β に等しく置き、ΛΝ を Γ に等しく置け。 そして、Α の Β に対する比は Β の Γ に対する比に等しく、Α は ΛΜ に等しく、Β は ΛΞ, ΕΔ のそれぞれに等しく、Γ は ΛΝ に等しいので、したがって、ΛΜ の ΕΖ に対する比は ΔΕ の ΛΝ に対する比に等しい。 そして、等しい角である角 ΝΛΜ, ΔΕΖ を挟む辺は互いに反比例している。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΜΝ παραλληλόγραμμον τῷ ΔΖ παραλληλογράμμῳ.
したがって、平行四辺形 ΜΝ は平行四辺形 ΔΖ に等しい。
καὶ ἐπεὶ δύο γωνίαι ἐπίπεδοι εὐθύγραμμοι ἴσαι εἰσὶν αἱ ὑπὸ ΔΕΖ, ΝΛΜ, καὶ ἐπʼ αὐτῶν μετέωροι εὐθεῖαι ἐφεστᾶσιν αἱ ΛΞ, ΕΗ ἴσαι τε ἀλλήλαις καὶ ἴσας γωνίας περιέχουσαι μετὰ τῶν ἐξ ἀρχῆς εὐθειῶν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, αἱ ἄρα ἀπὸ τῶν Η, Ξ σημείων κάθετοι ἀγόμεναι ἐπὶ τὰ διὰ τῶν ΝΛΜ, ΔΕΖ ἐπίπεδα ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν·
そして、2つの平面直線角 ΔΕΖ, ΝΛΜ が等しく、それらの上に、空中の直線 ΛΞ, ΕΗ が、互いに等しく、かつ、はじめの直線のそれぞれと、それぞれ等しい角を挟んで立てられているので、したがって、点 Η, Ξ から、ΝΛΜ, ΔΕΖ を通る平面の上に引かれた垂線は互いに等しい。
ὥστε τὰ ΛΘ, ΕΚ στερεὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἐστίν.
よって、立体 ΛΘ, ΕΚ は等しい高さを持つ。
τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων βάσεων στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
等しい底面の上にありかつ同じ高さを持つ平行六面体立体は互いに等しい。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΘΛ στερεὸν τῷ ΕΚ στερεῷ.
したがって、立体 ΘΛ は立体 ΕΚ に等しい。
καί ἐστι τὸ μὲν ΛΘ τὸ ἐκ τῶν Α, Β, Γ στερεόν, τὸ δὲ ΕΚ τὸ ἀπὸ τῆς Β στερεόν·
そして、立体 ΛΘ は Α, Β, Γ から作られる立体であり、立体 ΕΚ は Β から作られる立体である。
τὸ ἄρα ἐκ τῶν Α, Β, Γ στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β στερεῷ ἰσοπλεύρῳ μέν, ἰσογωνίῳ δὲ τῷ προειρημένῳ·
したがって、Α, Β, Γ から作られる平行六面体立体は、Β から作られ、等辺でありかつ前述の立体と等角である立体に等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§11.prop.37ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, καὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν στερεὰ παραλληλεπίπεδα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενα ἀνάλογον ἔσται·
もし4つの直線が比例するならば、それらから描かれる、同様かつ同様に記述される平行六面体立体も比例するであろう。
καὶ ἐὰν τὰ ἀπʼ αὐτῶν στερεὰ παραλληλεπίπεδα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενα ἀνάλογον ᾖ, καὶ αὐταὶ αἱ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται.
また、もしそれらから描かれる、同様かつ同様に記述される平行六面体立体が比例するならば、その直線自体も比例するであろう。
ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, καὶ ἀναγεγράφθωσαν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΚΑ, ΛΓ, ΜΕ, ΝΗ·
4つの比例する直線を ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ とし、ΑΒ の ΓΔ に対する比は ΕΖ の ΗΘ に対する比に等しいとする。 そして、ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ から、同様かつ同様に配置された平行六面体立体 ΚΑ, ΛΓ, ΜΕ, ΝΗ が描かれたとする。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ΚΑ πρὸς τὸ ΛΓ, οὕτως τὸ ΜΕ πρὸς τὸ ΝΗ.
ἐπεὶ γὰρ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΚΑ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τῷ ΛΓ, τὸ ΚΑ ἄρα πρὸς τὸ ΛΓ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΜΕ πρὸς τὸ ΝΗ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ. καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΚ πρὸς τὸ ΛΓ, οὕτως τὸ ΜΕ πρὸς τὸ ΝΗ.
ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡς τὸ ΑΚ στερεὸν πρὸς τὸ ΛΓ στερεόν, οὕτως τὸ ΜΕ στερεὸν πρὸς τὸ ΝΗ·
私は言う、ΚΑ の ΛΓ に対する比は、ΜΕ の ΝΗ に対する比に等しい、と。 なぜなら、平行六面体立体 ΚΑ は ΛΓ に同様であるから、したがって、ΚΑ の ΛΓ に対する比は、ΑΒ の ΓΔ に対する比の3乗比を持つ。 同じ理由により、ΜΕ の ΝΗ に対する比も、ΕΖ の ΗΘ に対する比の3乗比を持つ。 そして、ΑΒ の ΓΔ に対する比は ΕΖ の ΗΘ に対する比に等しい。 したがって、ΑΚ の ΛΓ に対する比も、ΜΕ の ΝΗ に対する比に等しい。 しかし、今度は立体 ΑΚ の立体 ΛΓ に対する比が、立体 ΜΕ の立体 ΝΗ に対する比に等しいとする。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ.
ἐπεὶ γὰρ πάλιν τὸ ΚΑ πρὸς τὸ ΛΓ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, ἔχει δὲ καὶ τὸ ΜΕ πρὸς τὸ ΝΗ τριπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, καί ἐστιν ὡς τὸ ΚΑ πρὸς τὸ ΛΓ, οὕτως τὸ ΜΕ πρὸς τὸ ΝΗ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ.
ἐὰν ἄρα τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσι καὶ τὰ ἑξῆς τῆς προτάσεως·
私は言う、直線 ΑΒ の ΓΔ に対する比は、ΕΖ の ΗΘ に対する比に等しい、と。 なぜなら、再び、ΚΑ の ΛΓ に対する比は ΑΒ の ΓΔ に対する比の3乗比を持ち、ΜΕ の ΝΗ に対する比も ΕΖ の ΗΘ に対する比の3乗比を持ち、そして ΚΑ の ΛΓ に対する比は ΜΕ の ΝΗ に対する比に等しいので、したがって、ΑΒ の ΓΔ に対する比も ΕΖ の ΗΘ に対する比に等しい。 したがって、もし4つの直線が比例するならば、以下、命題の通りである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。