§11.prop.24ἐὰν στερεὸν ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων περιέχηται, τὰ ἀπεναντίον αὐτοῦ ἐπίπεδα ἴσα τε καὶ παραλληλόγραμμά ἐστιν.
もし立体が平行な平面に囲まれるならば、その対向する平面は等しく、かつ平行四辺形である。
στερεὸν γὰρ τὸ ΓΔΘΗ ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων περιεχέσθω τῶν ΑΓ, ΗΖ, ΑΘ, ΔΖ, ΒΖ, ΑΕ·
なぜなら、立体 ΓΔΘΗ が、平行な平面 ΑΓ, ΗΖ, ΑΘ, ΔΖ, ΒΖ, ΑΕ に囲まれているとせよ。
λέγω, ὅτι τὰ ἀπεναντίον αὐτοῦ ἐπίπεδα ἴσα τε καὶ παραλληλόγραμμά ἐστιν.
私は、その対向する平面は等しく、かつ平行四辺形であると主張する。
ἐπεὶ γὰρ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΒΗ, ΓΕ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΑΓ τέμνεται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν.
なぜなら、2つの平行な平面 ΒΗ, ΓΕ が、平面 ΑΓ によって切られるので、それらの共通の交線は平行である。
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΔΓ. πάλιν, ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΒΖ, ΑΕ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΑΓ τέμνεται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν.
したがって ΑΒ は ΔΓ に平行である。 さらに、2つの平行な平面 ΒΖ, ΑΕ が、平面 ΑΓ によって切られるので、それらの共通の交線は平行である。
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΑΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΓ παράλληλος·
したがって ΒΓ は ΑΔ に平行である。 また ΑΒ も ΔΓ に平行であることが示された。
παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἕκαστον τῶν ΔΖ, ΖΗ, ΗΒ, ΒΖ, ΑΕ παραλληλόγραμμόν ἐστιν.
したがって ΑΓ は平行四辺形である。 同じようにして、 ΔΖ, ΖΗ, ΗΒ, ΒΖ, ΑΕ のそれぞれも平行四辺形であることをわれわれは示すであろう。
ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΘ, ΔΖ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΓ, ἡ δὲ ΒΘ τῇ ΓΖ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΘ ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας τὰς ΔΓ, ΓΖ ἁπτομένας ἀλλήλων εἰσὶν οὐκ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ·
ΑΘ, ΔΖ が結ばれたとせよ。 そして、 ΑΒ は ΔΓ に平行であり、 ΒΘ は ΓΖ に平行であるから、互いに交わる2つの直線 ΑΒ, ΒΘ は、互いに交わりかつ同一の平面上にない2つの直線 ΔΓ, ΓΖ に平行である。
ἴσας ἄρα γωνίας περιέξουσιν·
したがって、それらは等しい角を囲むであろう。
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΘ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΓΖ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΑΒ, ΒΘ δυσὶ ταῖς ΔΓ, ΓΖ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΘ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΓΖ ἐστιν ἴση, βάσις ἄρα ἡ ΑΘ βάσει τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΑΒΘ τρίγωνον τῷ ΔΓΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν.
したがって角 ΑΒΘ は角 ΔΓΖ に等しい。 そして、2つの直線 ΑΒ, ΒΘ は2つの直線 ΔΓ, ΓΖ に等しく、角 ΑΒΘ は角 ΔΓΖ に等しいから、したがって底辺 ΑΘ は底辺 ΔΖ に等しく、三角形 ΑΒΘ は三角形 ΔΓΖ に等しい。
καί ἐστι τοῦ μὲν ΑΒΘ διπλάσιον τὸ ΒΗ παραλληλόγραμμον, τοῦ δὲ ΔΓΖ διπλάσιον τὸ ΓΕ παραλληλόγραμμον·
そして、平行四辺形 ΒΗ は三角形 ΑΒΘ の2倍であり、平行四辺形 ΓΕ は三角形 ΔΓΖ の2倍である。
ἴσον ἄρα τὸ ΒΗ παραλληλόγραμμον τῷ ΓΕ παραλληλογράμμῳ.
したがって平行四辺形 ΒΗ は平行四辺形 ΓΕ に等しい。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ μὲν ΑΓ τῷ ΗΖ ἐστιν ἴσον, τὸ δὲ ΑΕ τῷ ΒΖ.
ἐὰν ἄρα στερεὸν ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων περιέχηται, τὰ ἀπεναντίον αὐτοῦ ἐπίπεδα ἴσα τε καὶ παραλληλόγραμμά ἐστιν·
同じようにして、 ΑΓ も ΗΖ に等しく、 ΑΕ も ΒΖ に等しいことをわれわれは示すであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
したがって、もし立体が平行な平面に囲まれるならば、その対向する平面は等しく、かつ平行四辺形である。 これが証明しようと試みていたことであった。
§11.prop.25ἐὰν στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔσται ὡς ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν, οὕτως τὸ στερεὸν πρὸς τὸ στερεόν.
もし平行六面体の立体が、対向する平面に平行な平面によって切られるならば、底辺が底辺に対するように、立体が立体に対するであろう。
στερεὸν γὰρ παραλληλεπίπεδον τὸ ΑΒΓΔ ἐπιπέδῳ τῷ ΖΗ τετμήσθω παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις τοῖς ΡΑ, ΔΘ·
なぜなら、平行六面体の立体 ΑΒΓΔ が、対向する平面 ΡΑ, ΔΘ に平行な平面 ΖΗ によって切られたとせよ。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕΖΦ βάσις πρὸς τὴν ΕΘΓΖ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΒΖΥ στερεὸν πρὸς τὸ ΕΗΓΔ στερεόν.
私は、底辺 ΑΕΖΦ が底辺 ΕΘΓΖ に対するよう、立体 ΑΒΖΥ が立体 ΕΗΓΔ に対すると主張する。
Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΑΘ ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη, καὶ κείσθωσαν τῇ μὲν ΑΕ ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΑΚ, ΚΛ, τῇ δὲ ΕΘ ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΘΜ, ΜΝ, καὶ συμπεπληρώσθω τὰ ΛΟ, ΚΦ, ΘΧ, ΜΣ παραλληλόγραμμα καὶ τὰ ΛΠ, ΚΡ, ΔΜ, ΜΤ στερεά.
なぜなら、 ΑΘ が両方の方向に延長されたとせよ。 そして、 ΑΕ に等しい任意の数の直線 ΑΚ, ΚΛ が置かれ、 ΕΘ に等しい任意の数の直線 ΘΜ, ΜΝ が置かれたとせよ。 そして平行四辺形 ΛΟ, ΚΦ, ΘΧ, ΜΣ、および立体 ΛΠ, ΚΡ, ΔΜ, ΜΤ が完成されたとせよ。
καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΛΚ, ΚΑ, ΑΕ εὐθεῖαι ἀλλήλαις, ἴσα ἐστὶ καὶ τὰ μὲν ΛΟ, ΚΦ, ΑΖ παραλληλόγραμμα ἀλλήλοις, τὰ δὲ ΚΞ, ΚΒ, ΑΗ ἀλλήλοις καὶ ἔτι τὰ ΛΨ, ΚΠ, ΑΡ ἀλλήλοις·
そして、直線 ΛΚ, ΚΑ, ΑΕ は互いに等しいから、平行四辺形 ΛΟ, ΚΦ, ΑΖ も互いに等しく、 ΚΞ, ΚΒ, ΑΗ も互いに等しく、さらに ΛΨ, ΚΠ, ΑΡ も互いに等しい。
ἀπεναντίον γάρ.
なぜなら、それらは対向しているからである。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὰ μὲν ΕΓ, ΘΧ, ΜΣ παραλληλόγραμμα ἴσα εἰσὶν ἀλλήλοις, τὰ δὲ ΘΗ, ΘΙ, ΙΝ ἴσα εἰσὶν ἀλλήλοις, καὶ ἔτι τὰ ΔΘ, ΜΩ, ΝΤ·
まさに同じ理由によって、平行四辺形 ΕΓ, ΘΧ, ΜΣ も互いに等しく、 ΘΗ, ΘΙ, ΙΝ も互いに等しく、さらに ΔΘ, ΜΩ, ΝΤ も等しい。
τρία ἄρα ἐπίπεδα τῶν ΛΠ, ΚΡ, ΑΥ στερεῶν τρισὶν ἐπιπέδοις ἐστὶν ἴσα.
したがって、立体 ΛΠ, ΚΡ, ΑΥ の3つの平面は3つの平面に等しい。
ἀλλὰ τὰ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἐστὶν ἴσα·
しかし、その3つの平面は対向する3つの平面に等しい。
τὰ ἄρα τρία στερεὰ τὰ ΛΠ, ΚΡ, ΑΥ ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
したがって、3つの立体 ΛΠ, ΚΡ, ΑΥ は互いに等しい。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὰ τρία στερεὰ τὰ ΕΔ, ΔΜ, ΜΤ ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
まさに同じ理由によって、3つの立体 ΕΔ, ΔΜ, ΜΤ も互いに等しい。
ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΖ βάσις τῆς ΑΖ βάσεως, τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΛΥ στερεὸν τοῦ ΑΥ στερεοῦ.
したがって、底辺 ΛΖ が底辺 ΑΖ の何倍であっても、立体 ΛΥ も立体 ΑΥ のそれと同じ倍数である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ΝΖ βάσις τῆς ΖΘ βάσεως, τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΝΥ στερεὸν τοῦ ΘΥ στερεοῦ.
まさに同じ理由によって、底辺 ΝΖ が底辺 ΖΘ の何倍であっても、立体 ΝΥ も立体 ΘΥ のそれと同じ倍数である。
καὶ εἰ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΖ βάσις τῇ ΝΖ βάσει, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΛΥ στερεὸν τῷ ΝΥ στερεῷ, καὶ εἰ ὑπερέχει ἡ ΛΖ βάσις τῆς ΝΖ βάσεως, ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΥ στερεὸν τοῦ ΝΥ στερεοῦ, καὶ εἰ ἐλλείπει, ἐλλείπει.
そして、もし底辺 ΛΖ が底辺 ΝΖ に等しいならば、立体 ΛΥ も立体 ΝΥ に等しく、もし底辺 ΛΖ が底辺 ΝΖ を超過するならば、立体 ΛΥ も立体 ΝΥ を超過し、もし及ばないならば、及ばない。
τεσσάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν, δύο μὲν βάσεων τῶν ΑΖ, ΖΘ, δύο δὲ στερεῶν τῶν ΑΥ, ΥΘ, εἴληπται ἰσάκις πολλαπλάσια τῆς μὲν ΑΖ βάσεως καὶ τοῦ ΑΥ στερεοῦ ἥ τε ΛΖ βάσις καὶ τὸ ΛΥ στερεόν, τῆς δὲ ΘΖ βάσεως καὶ τοῦ ΘΥ στερεοῦ ἥ τε ΝΖ βάσις καὶ τὸ ΝΥ στερεόν, καὶ δέδεικται, ὅτι εἰ ὑπερέχει ἡ ΛΖ βάσις τῆς ΖΝ βάσεως, ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΥ στερεὸν τοῦ ΝΥ, καὶ εἰ ἴση, ἴσον, καὶ εἰ ἐλλείπει, ἐλλείπει.
そこで、4つの量、すなわち2つの底辺 ΑΖ, ΖΘ と、2つの立体 ΑΥ, ΥΘ があるとき、底辺 ΑΖ と立体 ΑΥ の同数倍として底辺 ΛΖ と立体 ΛΥ が取られ、底辺 ΘΖ と立体 ΘΥ の同数倍として底辺 ΝΖ と立体 ΝΥ が取られており、そして、もし底辺 ΛΖ が底辺 ΖΝ を超過するならば、立体 ΛΥ も立体 ΝΥ を超過し、もし等しいならば等しく、もし及ばないならば及ばないことが示されている。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ βάσις πρὸς τὴν ΖΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΥ στερεὸν πρὸς τὸ ΥΘ στερεόν·
したがって、底辺 ΑΖ が底辺 ΖΘ に対するよう、立体 ΑΥ が立体 ΥΘ に対する。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明しようと試みていたことであった。