§11.prop.23#1ἐκ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, στερεὰν γωνίαν συστήσασθαι·
3つの平面角があり、それらのうちの任意の2つは、どのように組み合わせても、残りの1つより大きく、またそれら3つの角の和が4直角より小さいとき、それらから立体角を構成すること。
δεῖ δὴ τὰς τρεῖς τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονας εἶναι.
ただし、その3つの角は4直角より小さくなければならない。
ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι τρεῖς γωνίαι ἐπίπεδοι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονες ἔστωσαν πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, ἔτι δὲ αἱ τρεῖς τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονες·
与えられた3つの平面角を ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ とせよ。 それらのうちの任意の2つは、どのように組み合わせても、残りの1つより大きいとし、さらに3つの角の和は4直角より小さいとせよ。
δεῖ δὴ ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ στερεὰν γωνίαν συστήσασθαι.
そこで、角 ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ に等しい角から立体角を構成しなければならない。
Ἀπειλήφθωσαν ἴσαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ·
直線 ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ は等しく切り取られたとし、 ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ が結ばれたとせよ。
δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ τρίγωνον συστήσασθαι.
したがって、 ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ に等しい直線から三角形を構成することが可能である。
συνεστάτω τὸ ΛΜΝ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΑΓ τῇ ΛΜ, τὴν δὲ ΔΖ τῇ ΜΝ, καὶ ἔτι τὴν ΗΚ τῇ ΝΛ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΛΜΝ τρίγωνον κύκλος ὁ ΛΜΝ καὶ εἰλήφθω αὐτοῦ τὸ κέντρον καὶ ἔστω τὸ Ξ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΞ, ΜΞ, ΝΞ·
三角形 ΛΜΝ が、 ΑΓ が ΛΜ に、 ΔΖ が ΜΝ に、さらに ΗΚ が ΝΛ に等しくなるように構成され、三角形 ΛΜΝ のまわりに円 ΛΜΝ が外接され、その中心が取られて Ξ とせよ。 そして ΛΞ, ΜΞ, ΝΞ が結ばれたとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ μείζων ἐστὶ τῆς ΛΞ. εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΛΞ ἢ ἐλάττων.
私は、 ΑΒ が ΛΞ より大きいと主張する。 なぜなら、もしそうでないならば、 ΑΒ は ΛΞ に等しいか、または小さい。
ἔστω πρότερον ἴση.
まず等しいとせよ。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΛΞ, ἀλλὰ ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΞΛ τῇ ΞΜ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ δύο ταῖς ΛΞ, ΞΜ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
そして ΑΒ は ΛΞ に等しく、他方で ΑΒ は ΒΓ に等しく、 ΞΛ は ΞΜ に等しいから、したがって2つの直線 ΑΒ, ΒΓ は2つの直線 ΛΞ, ΞΜ に、それぞれ互いに等しい。
καὶ βάσις ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΛΜ ὑπόκειται ἴση·
そして底辺 ΑΓ は底辺 ΛΜ に等しいと仮定されている。
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΞΜ ἐστιν ἴση.
したがって角 ΑΒΓ は角 ΛΞΜ に等しい。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΕΖ τῇ ὑπὸ ΜΞΝ ἐστιν ἴση, καὶ ἔτι ἡ ὑπὸ ΗΘΚ τῇ ὑπὸ ΝΞΛ·
まさに同じ理由によって、角 ΔΕΖ も角 ΜΞΝ に等しく、さらに角 ΗΘΚ も角 ΝΞΛ に等しい。
αἱ ἄρα τρεῖς αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ γωνίαι τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΛΞΜ, ΜΞΝ, ΝΞΛ εἰσιν ἴσαι.
したがって、3つの角 ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ は3つの角 ΛΞΜ, ΜΞΝ, ΝΞΛ に等しい。
ἀλλὰ αἱ τρεῖς αἱ ὑπὸ ΛΞΜ, ΜΞΝ, ΝΞΛ τέτταρσιν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι·
しかし、3つの角 ΛΞΜ, ΜΞΝ, ΝΞΛ は4直角に等しい。
καὶ αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ τέτταρσιν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
したがって、3つの角 ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ もまた4直角に等しい。
ὑπόκεινται δὲ καὶ τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονες·
ところが、それらは4直角より小さいと仮定されている。
ὅπερ ἄτοπον.
これは不合理である。
οὐκ ἄρα ἡ ΑΒ τῇ ΛΞ ἴση ἐστίν.
したがって ΑΒ は ΛΞ に等しくない。
λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐλάττων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΛΞ. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω·
では、私は ΑΒ は ΛΞ より小さくもないと主張する。 なぜなら、可能であるならば、そうであるとせよ。
καὶ κείσθω τῇ μὲν ΑΒ ἴση ἡ ΞΟ, τῇ δὲ ΒΓ ἴση ἡ ΞΠ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΠ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΞΟ τῇ ΞΠ·
そして ΑΒ に等しい ΞΟ が、 ΒΓ に等しい ΞΠ が置かれ、 ΟΠ が結ばれたとせよ。 そして ΑΒ は ΒΓ に等しいから、 ΞΟ も ΞΠ に等しい。
ὥστε καὶ λοιπὴ ἡ ΛΟ τῇ ΠΜ ἐστιν ἴση.
したがって、残りの ΛΟ も ΠΜ に等しい。
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΜ τῇ ΟΠ, καὶ ἰσογώνιον τὸ ΛΜΞ τῷ ΟΠΞ·
したがって ΛΜ は ΟΠ に平行であり、三角形 ΛΜΞ は三角形 ΟΠΞ と等角である。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΞΛ πρὸς ΛΜ, οὕτως ἡ ΞΟ πρὸς ΟΠ·
したがって、 ΞΛ の ΛΜ に対する比は、 ΞΟ の ΟΠ に対する比と同じである。
ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΛΞ πρὸς ΞΟ, οὕτως ἡ ΛΜ πρὸς ΟΠ. μείζων δὲ ἡ ΛΞ τῆς ΞΟ·
交互すれば、 ΛΞ の ΞΟ に対する比は、 ΛΜ の ΟΠ に対する比と同じである。 ところが ΛΞ は ΞΟ より大きい。
μείζων ἄρα καὶ ἡ ΛΜ τῆς ΟΠ. ἀλλὰ ἡ ΛΜ κεῖται τῇ ΑΓ ἴση·
したがって ΛΜ も ΟΠ より大きい。 しかし ΛΜ は ΑΓ に等しく置かれている。
καὶ ἡ ΑΓ ἄρα τῆς ΟΠ μείζων ἐστίν.
したがって ΑΓ も ΟΠ より大きい。
ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΑΒ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΟΞ, ΞΠ ἴσαι εἰσίν, καὶ βάσις ἡ ΑΓ βάσεως τῆς ΟΠ μείζων ἐστίν, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίας τῆς ὑπὸ ΟΞΠ μείζων ἐστίν.
それゆえ、2つの直線 ΑΒ, ΒΓ は2つの直線 ΟΞ, ΞΠ に等しく、底辺 ΑΓ は底辺 ΟΠ より大きいから、したがって角 ΑΒΓ は角 ΟΞΠ より大きい。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΕΖ τῆς ὑπὸ ΜΞΝ μείζων ἐστίν, ἡ δὲ ὑπὸ ΗΘΚ τῆς ὑπὸ ΝΞΛ. αἱ ἄρα τρεῖς γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ τριῶν τῶν ὑπὸ ΛΞΜ, ΜΞΝ, ΝΞΛ μείζονές εἰσιν.
同様にして、角 ΔΕΖ も角 ΜΞΝ より大きく、角 ΗΘΚ も角 ΝΞΛ より大きいことを示すであろう。 したがって、3つの角 ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ は3つの角 ΛΞΜ, ΜΞΝ, ΝΞΛ より大きい。
ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονες ὑπόκεινται·
しかし、 ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ は4直角より小さいと仮定されている。
πολλῷ ἄρα αἱ ὑπὸ ΛΞΜ, ΜΞΝ, ΝΞΛ τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν.
したがって、なおさら角 ΛΞΜ, ΜΞΝ, ΝΞΛ は4直角より小さい。