§11.prop.11ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου μετεώρου ἐπὶ τὸ δοθὲν ἐπίπεδον κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
与えられた、空中にある点から、与えられた平面に対して垂線を引くこと。
ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον μετέωρον τὸ Α, τὸ δὲ δοθὲν ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενον·
与えられた、空中にある点を Α とし、与えられた平面を下にある平面とせよ。
δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
点 Α から下にある平面に対して垂線を引かなければならない。
διήχθω γάρ τις ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐθεῖα, ὡς ἔτυχεν, ἡ ΒΓ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΔ. εἰ μὲν οὖν ἡ ΑΔ κάθετός ἐστι καὶ ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν.
なぜなら、下にある平面において、適当な直線 ΒΓ が引かれたとせよ。 そして点 Α から ΒΓ に対して垂線 ΑΔ が引かれたとせよ。 もし ΑΔ が下にある平面に対しても垂直であるならば、命じられたことはなされたことになる。
εἰ δὲ οὔ, ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου τῇ ΒΓ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΕ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΔΕ κάθετος ἡ ΑΖ, καὶ διὰ τοῦ Ζ σημείου τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΘ.
καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΓ ἑκατέρᾳ τῶν ΔΑ, ΔΕ πρὸς ὀρθάς ἐστιν, ἡ ΒΓ ἄρα καὶ τῷ διὰ τῶν ΕΔΑ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
もしそうでなければ、点 Δ から ΒΓ に対して、下にある平面において垂直に ΔΕ が引かれ、Α から ΔΕ に対して垂線 ΑΖ が引かれ、点 Ζ を通って ΒΓ に平行な ΗΘ が引かれたとせよ。 そして、ΒΓ は ΔΑ, ΔΕ のそれぞれに対して垂直であるから、ΒΓ は ΕΔΑ を通る平面に対しても垂直である。
καί ἐστιν αὐτῇ παράλληλος ἡ ΗΘ·
そして ΗΘ はこれに平行である。
ἐὰν δὲ ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ἡ δὲ μία αὐτῶν ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ ἡ λοιπὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται·
ところで、もし2本の直線が平行であり、そのうちの1本がある平面に対して垂直であるならば、残りの1本もその同じ平面に対して垂直である。
καὶ ἡ ΗΘ ἄρα τῷ διὰ τῶν ΕΔ, ΔΑ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
したがって、ΗΘ もまた ΕΔ, ΔΑ を通る平面に対して垂直である。
καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ διὰ τῶν ΕΔ, ΔΑ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν ἡ ΗΘ. ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἡ ΑΖ οὖσα ἐν τῷ διὰ τῶν ΕΔ, ΔΑ ἐπιπέδῳ·
それゆえ、ΗΘ は、これに交わり、かつ ΕΔ, ΔΑ を通る平面上にあるすべての直線に対して垂直である。 ところで、ΕΔ, ΔΑ を通る平面上にある ΑΖ はこれに交わっている。
ἡ ΗΘ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὴν ΖΑ·
したがって、ΗΘ は ΖΑ に対して垂直である。
ὥστε καὶ ἡ ΖΑ ὀρθή ἐστι πρὸς τὴν ΘΗ. ἔστι δὲ ἡ ΑΖ καὶ πρὸς τὴν ΔΕ ὀρθή·
ゆえに、ΖΑ もまた ΘΗ に対して垂直である。 ところで、ΑΖ は ΔΕ に対しても垂直である。
ἡ ΑΖ ἄρα πρὸς ἑκατέραν τῶν ΗΘ, ΔΕ ὀρθή ἐστιν.
したがって、ΑΖ は ΗΘ, ΔΕ のそれぞれに対して垂直である。
ἐὰν δὲ εὐθεῖα δυσὶν εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλήλας ἐπὶ τῆς τομῆς πρὸς ὀρθὰς ἐπισταθῇ, καὶ τῷ διʼ αὐτῶν ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται·
ところで、もし直線が、互いに交わる2本の直線に対してそれらの交点において垂直に立てられるならば、それらを通る平面に対しても垂直である。
ἡ ΖΑ ἄρα τῷ διὰ τῶν ΕΔ, ΗΘ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
したがって、ΖΑ は ΕΔ, ΗΘ を通る平面に対して垂直である。
τὸ δὲ διὰ τῶν ΕΔ, ΗΘ ἐπίπεδόν ἐστι τὸ ὑποκείμενον·
そして ΕΔ, ΗΘ を通る平面とは下にある平面のことである。
ἡ ΑΖ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
したがって、ΑΖ は下にある平面に対して垂直である。
ἀπὸ τοῦ ἄρα δοθέντος σημείου μετεώρου τοῦ Α ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΑΖ·
したがって、与えられた、空中にある点 Α から、下にある平面に対して垂線 ΑΖ が引かれた。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これがなすべきことであった。
§11.prop.12τῷ δοθέντι ἐπιπέδῳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῷ δοθέντος σημείου πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖαν γραμμὴν ἀναστῆσαι.
与えられた平面に対して、その上にある与えられた点から垂直な直線を立てること。
ἔστω τὸ μὲν δοθὲν ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενον, τὸ δὲ πρὸς αὐτῷ σημεῖον τὸ Α·
与えられた平面を下にある平面とし、その上にある点を Α とせよ。
δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖαν γραμμὴν ἀναστῆσαι.
点 Α から下にある平面に対して垂直な直線を立てなければならない。
νενοήσθω τι σημεῖον μετέωρον τὸ Β, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἤχθω ἡ ΒΓ, καὶ διὰ τοῦ Α σημείου τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΔ.
ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι παράλληλοί εἰσιν αἱ ΑΔ, ΓΒ, ἡ δὲ μία αὐτῶν ἡ ΒΓ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν, καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΔ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
何か空中にある点 Β が想定され、Β から下にある平面に対して垂線 ΒΓ が引かれ、点 Α を通って ΒΓ に平行な ΑΔ が引かれたとせよ。 さて、2本の直線 ΑΔ, ΓΒ は平行であり、そのうちの1本である ΒΓ が下にある平面に対して垂直であるから、残りの1本である ΑΔ もまた下にある平面に対して垂直である。
τῷ ἄρα δοθέντι ἐπιπέδῳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῷ σημείου τοῦ Α πρὸς ὀρθὰς ἀνέσταται ἡ ΑΔ·
したがって、与えられた平面に対して、その上にある点 Α から垂直に ΑΔ が立てられた。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これがなすべきことであった。
§11.prop.13ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρθὰς οὐκ ἀναστήσονται ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη.
同一の点から同一の平面に対して、同じ側に2本の垂直な直線は立てられない。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Α τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτωσαν ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη, καὶ διήχθω τὸ διὰ τῶν ΒΑ, ΑΓ ἐπίπεδον·
なぜなら、もし可能であるならば、同一の点 Α から下にある平面に対して、2本の直線 ΑΒ, ΑΓ が同じ側に垂直に立てられたとせよ。 そして ΒΑ, ΑΓ を通る平面が引かれたとせよ。
τομὴν δὴ ποιήσει διὰ τοῦ Α ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν.
これは下にある平面において点 Α を通る直線を交線としてつくる。
ποιείτω τὴν ΔΑΕ·
それを ΔΑΕ とせよ。
αἱ ἄρα ΑΒ, ΑΓ, ΔΑΕ εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.
したがって、直線 ΑΒ, ΑΓ, ΔΑΕ は1つの平面内にある。
καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΑ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας.
そして、ΓΑ は下にある平面に対して垂直であるから、それゆえ、これに交わり、かつ下にある平面上にあるすべての直線に対して直角をつくる。
ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἡ ΔΑΕ οὖσα ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ·
そして下にある平面上にある ΔΑΕ はこれに交わっている。
ἡ ἄρα ὑπὸ ΓΑΕ γωνία ὀρθή ἐστιν.
したがって、角 ΓΑΕ は直角である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ὀρθή ἐστιν·
同じ理由により、角 ΒΑΕ もまた直角である。
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΑΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ. καί εἰσιν ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ·
したがって、角 ΓΑΕ は角 ΒΑΕ に等しい。 しかもそれらは1つの平面内にある。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρθὰς ἀνασταθήσονται ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη·
したがって、同一の点から同一の平面に対して、同じ側に2本の垂直な直線は立てられない。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。