§11.prop.16ἐὰν δύο ἐπίπεδα παράλληλα ὑπὸ ἐπιπέδου τινὸς τέμνηται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν.
もし2つの平行な平面が、ある平面によって交わされるならば、それらの共通の交線は平行である。
δύο γὰρ ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΑΒ, ΓΔ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΕΖΗΘ τεμνέσθω, κοιναὶ δὲ αὐτῶν τομαὶ ἔστωσαν αἱ ΕΖ, ΗΘ·
2つの平行な平面 ΑΒ, ΓΔ が、平面 ΕΖΗΘ によって切られるとせよ。 そしてそれらの共通の交線が ΕΖ, ΗΘ であるとせよ。
λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΗΘ.
εἰ γὰρ μή, ἐκβαλλόμεναι αἱ ΕΖ, ΗΘ ἤτοι ἐπὶ τὰ Ζ, Θ μέρη ἢ ἐπὶ τὰ Ε, Η συμπεσοῦνται.
私は、ΕΖ が ΗΘ に平行であると主張する。 もしそうでなければ、延長された ΕΖ, ΗΘ は、Ζ, Θ の側か、または Ε, Η の側において交わるであろう。
ἐκβεβλήσθωσαν ὡς ἐπὶ τὰ Ζ, Θ μέρη καὶ συμπιπτέτωσαν πρότερον κατὰ τὸ Κ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΖΚ ἐν τῷ ΑΒ ἐστιν ἐπιπέδῳ, καὶ πάντα ἄρα τὰ ἐπὶ τῆς ΕΖΚ σημεῖα ἐν τῷ ΑΒ ἐστιν ἐπιπέδῳ.
まず Ζ, Θ の側へ延長され、点 Κ において交わるとせよ。 そして、ΕΖΚ は平面 ΑΒ 内にあるから、したがって ΕΖΚ 上にあるすべての点もまた平面 ΑΒ 内にある。
ἓν δὲ τῶν ἐπὶ τῆς ΕΖΚ εὐθείας σημείων ἐστὶ τὸ Κ·
ところで、直線 ΕΖΚ 上の点の一つは Κ である。
τὸ Κ ἄρα ἐν τῷ ΑΒ ἐστιν ἐπιπέδῳ.
したがって Κ は平面 ΑΒ 内にある。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ τὸ Κ καὶ ἐν τῷ ΓΔ ἐστιν ἐπιπέδῳ·
同じ理由により、Κ は平面 ΓΔ 内にもある。
τὰ ΑΒ, ΓΔ ἄρα ἐπίπεδα ἐκβαλλόμενα συμπεσοῦνται.
したがって、平面 ΑΒ, ΓΔ は延長されると交わることになる。
οὐ συμπίπτουσι δὲ διὰ τὸ παράλληλα ὑποκεῖσθαι·
しかし、平行であると仮定されているため、交わらない。
οὐκ ἄρα αἱ ΕΖ, ΗΘ εὐθεῖαι ἐκβαλλόμεναι ἐπὶ τὰ Ζ, Θ μέρη συμπεσοῦνται.
したがって、直線 ΕΖ, ΗΘ は Ζ, Θ の側に延長されても交わらない。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι αἱ ΕΖ, ΗΘ εὐθεῖαι οὐδὲ ἐπὶ τὰ Ε, Η μέρη ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται.
同様にして、直線 ΕΖ, ΗΘ は Ε, Η の側に延長されても交わらないことが示される。
αἱ δὲ ἐπὶ μηδέτερα τὰ μέρη συμπίπτουσαι παράλληλοί εἰσιν.
ところで、どちらの側でも交わらない直線同士は平行である。
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΗΘ.
ἐὰν ἄρα δύο ἐπίπεδα παράλληλα ὑπὸ ἐπιπέδου τινὸς τέμνηται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν·
したがって、ΕΖ は ΗΘ に平行である。 したがって、もし2つの平行な平面が、ある平面によって交わされるならば、それらの共通の交線は平行である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§11.prop.17ἐὰν δύο εὐθεῖαι ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τέμνωνται εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους τμηθήσονται.
もし2つの直線が平行な平面群によって切られるならば、それらは同じ比に分割されるであろう。
δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν ΗΘ, ΚΛ, ΜΝ τεμνέσθωσαν κατὰ τὰ Α, Ε, Β, Γ, Ζ, Δ σημεῖα·
2つの直線 ΑΒ, ΓΔ が、平行な平面 ΗΘ, ΚΛ, ΜΝ によって、点 Α, Ε, Β, Γ, Ζ, Δ において切られるとせよ。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΔ.
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ, ΒΔ, ΑΔ, καὶ συμβαλλέτω ἡ ΑΔ τῷ ΚΛ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ξ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΞ, ΞΖ. καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΚΛ, ΜΝ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΕΒΔΞ τέμνεται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ αἱ ΕΞ, ΒΔ παράλληλοί εἰσιν.
私は、直線 ΑΕ の ΕΒ に対する比は、ΓΖ の ΖΔ に対する比と同じであると主張する。 なぜなら、ΑΓ, ΒΔ, ΑΔ が結ばれ、ΑΔ が平面 ΚΛ と点 Ξ において交わるとせよ。 そして、ΕΞ, ΞΖ が結ばれたとせよ。 そして、2つの平行な平面 ΚΛ, ΜΝ が、平面 ΕΒΔΞ によって切られるから、それらの共通の交線 ΕΞ, ΒΔ は平行である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΗΘ, ΚΛ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΑΞΖΓ τέμνεται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ αἱ ΑΓ, ΞΖ παράλληλοί εἰσιν.
同じ理由により、2つの平行な平面 ΗΘ, ΚΛ が、平面 ΑΞΖΓ によって切られるから、それらの共通の交線 ΑΓ, ΞΖ は平行である。
καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΒΔ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΒΔ εὐθεῖα ἦκται ἡ ΕΞ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΑΞ πρὸς ΞΔ. πάλιν ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΔΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΑΓ εὐθεῖα ἦκται ἡ ΞΖ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΑΞ πρὸς ΞΔ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΑΞ πρὸς ΞΔ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ·
そして、三角形 ΑΒΔ の一辺 ΒΔ に平行に直線 ΕΞ が引かれているから、したがって比例により、ΑΕ の ΕΒ に対する比は、ΑΞ の ΞΔ に対する比と同じである。 再び、三角形 ΑΔΓ の一辺 ΑΓ に平行に直線 ΞΖ が引かれているから、比例により、ΑΞ の ΞΔ に対する比は、ΓΖ の ΖΔ に対する比と同じである。 ところで、ΑΞ の ΞΔ に対する比は、 ΑΕ の ΕΒ に対する比と同じであることも示された。
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ.
ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τέμνωνται, εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους τμηθήσονται·
したがって、ΑΕ の ΕΒ に対する比は、ΓΖ の ΖΔ に対する比と同じである。 したがって、もし2つの直線が平行な平面群によって切られるならば、それらは同じ比に分割されるであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。