§10.prop3.92ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς δευτέρας, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη.
もし領域が有理（直線）と第2のアポトメーによって囲まれるならば、その領域を平方する（直線）は第1のメセーのアポトメーである。
χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ καὶ ἀποτομῆς δευτέρας τῆς ΑΔ·
実際、領域ABが有理（直線）ACと第2のアポトメーADによって囲まれているとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη.
私は、領域ABを平方する（直線）は第1のメセーのアポトメーであると主張する。
ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ·
というのも、ADへの付加線をDHとせよ。
αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆς προσαρμοζούσης τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
したがってAH, HDは平方においてのみ通約可能な有理（直線）であり、かつ付加線DHは設定された有理（直線）ACと長さにおいて通約可能であり、かつ全体AHは付加線HDよりも、自身と長さにおいて通約可能な（直線）上の正方形だけ平方において大きい。
ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΔ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ.
したがって、AHがHDよりも、自身と長さにおいて通約可能な（直線）上の正方形だけ平方において大きいので、もしHD上の正方形の4分の1に等しい（矩形）が、正方形 of の不足を伴ってAHに沿って応用されるならば、それは彼女（AH）を通約可能なもの（線分）に分割する。
τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε·
したがって、DHがEにおいて2等分されたとせよ。
καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ·
そして、EH上の正方形に等しい（矩形）が、正方形の不足を伴ってAHに沿って応用されたとせよ、そしてそれをAZ, ZHによって囲まれる（矩形）とせよ。
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει.
したがってAZは長さにおいてZHと通約可能である。
καὶ ἡ ΑΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΑΖ, ΖΗ σύμμετρός ἐστι μήκει.
したがって全体のAHもAZ, ZHのそれぞれと長さにおいて通約可能である。
ῥητὴ δὲ ἡ ΑΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει·
そして、AHは有理であって ACと長さにおいて通約不可能である。
καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΖ, ΖΗ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει·
したがってAZ, ZHのそれぞれも有理であってACと長さにおいて通約不可能である。
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΙ, ΖΚ μέσον ἐστίν.
したがって、AI, ZKのそれぞれは中項（領域）である。
πάλιν, ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ, καὶ ἡ ΔΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΔΕ, ΕΗ σύμμετρός ἐστιν.
再び、DEがEHと通約可能であるから、したがってDHもDE, EHのそれぞれと通約可能である。
ἀλλʼ ἡ ΔΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ΑΓ μήκει.
しかしDHはACと長さにおいて通約可能である。
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΔΘ, ΕΚ ῥητόν ἐστιν.
したがって、DG, EKのそれぞれは有理（領域）である。
συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΝΞ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν ὂν τῷ ΛΜ τὴν ὑπὸ τῶν ΛΟΜ·
したがって、AIに等しい正方形LMが作られ、かつZKに等しい正方形NXが、それ（LM）と角∠LOMを共通の角として有して差し引かれたとせよ。
περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα ἐστὶ διάμετρον τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα.
したがって正方形LM, NXは同一の対角線の周りにある。
ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
それらの対角線をOPとし、図形が完成されたとせよ。
ἐπεὶ οὖν τὰ ΑΙ, ΖΚ μέσα ἐστὶ καί ἐστιν ἴσα τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ μέσα ἐστίν·
さて、AI, ZKは中項（領域）であり、かつそれらはLO, ONのそれぞれの上（の正方形）に等しいから、したがってLO, ONのそれぞれの上（の正方形）も中項（領域）である。
καὶ αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι.
したがってLO, ONも平方においてのみ通約可能な中線である。
καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ·
そして、AZ, ZHによって囲まれる長方形がEH上の正方形と等しいから、したがってAZのEHに対する比は、EHのZHに対する比と等しい。
ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ·
しかし、AZのEHに対する比はAIのEKに対する比と等しく、かつEHのZHに対する比はEKのZKに対する比と等しい。
ὡς δὲ ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως τὸ ΕΚ πρὸς τὸ ΖΚ·
したがって、AI, ZKの比例中項はEKである。
τῶν ἄρα ΑΙ, ΖΚ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ. ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ, ΝΞ τετραγώνων μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ·
しかし、正方形LM, NXの比例中項もまたMNであり、そしてAIはLMと等しく、かつZKはNXと等しい。
καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΙ τῷ ΛΜ, τὸ δὲ ΖΚ τῷ ΝΞ·
したがって、MNもEKと等しい。
καὶ τὸ ΜΝ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΕΚ. ἀλλὰ τῷ μὲν ΕΚ ἴσον τὸ ΔΘ, τῷ δὲ ΜΝ ἴσον τὸ ΛΞ·
しかし、EKはDGと等しく、かつMNはLXと等しい。
ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ. ἐπεὶ οὖν ὅλον τὸ ΑΚ ἴσον ἐστὶ τοῖς ΛΜ, ΝΞ, ὧν τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΤΣ. τὸ δὲ ΤΣ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΛΝ·
したがって、全体DKはグノーモンUFXとNX（の和）に等しい。 さて、全体のAKはLM, NX（の和）に等しく、そのうちDKはグノーモンUFXとNX（の和）に等しい。 したがって、残りのABはTSと等しい。 そしてTSはLN上の正方形である。
τὸ ἀπὸ τῆς ΛΝ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒ χωρίῳ·
したがってLN上の正方形は領域ABと等しい。
ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.
それゆえ、LNは領域ABを平方する。
λέγω, ὅτι ἡ ΛΝ μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη.
今や、私はLNが第1のメセーのアポトメーであると主張する。
ἐπεὶ γὰρ ῥητόν ἐστι τὸ ΕΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΛΞ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΞ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ. μέσον δὲ ἐδείχθη τὸ ΝΞ·
というのも、EKは有理（領域）であってLXと等しいから、したがってLXは有理であり、すなわちLO, ONによって囲まれる（矩形）は有理である。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΞ τῷ ΝΞ·
そして、NXは中項（領域）であると示されたから、したがってLXはNXと通約不可能である。
ὡς δὲ τὸ ΛΞ πρὸς τὸ ΝΞ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΛΟ πρὸς ΟΝ·
そして、LXのNXに対する比は、LOのONに対する比と等しい。
αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα ἀσύμμετροί εἰσι μήκει.
したがって、LO, ONは長さにおいて通約不可能である。
αἱ ἄρα ΛΟ, ΟΝ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι·
したがってLO, ONは平方においてのみ通約可能な中線であって、有理（領域）を囲む。
ἡ ΛΝ ἄρα μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη·
したがって、LNは第1のメセーのアポトメーである。
καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.
そしてそれは領域ABを平方する。
ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη·
したがって、領域ABを平方する（直線）は第1のメセーのアポトメーである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。