§10.prop3.93ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς τρίτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι δευτέρα.
もし領域が有理（直線）と第3のアポトメーによって囲まれるならば、その領域を平方する（直線）は第2のメセーのアポトメーである。
χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ καὶ ἀποτομῆς τρίτης τῆς ΑΔ·
領域ABが有理（直線）ACと第3のアポトメーADによって囲まれているとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι δευτέρα.
私は、領域ABを平方する（直線）は第2のメセーのアポトメーであると主張する。
ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ·
というのも、ADへの付加線をDHとせよ。
αἱ ΑΗ, ΗΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ οὐδετέρα τῶν ΑΗ, ΗΔ σύμμετρός ἐστι μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆς προσαρμοζούσης τῆς ΔΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
したがってAH, HDは平方においてのみ通約可能な有理（直線）であり、かつAH, HDのどちらも設定された有理（直線）ACと長さにおいて通約可能ではなく、かつ全体AHは付加線DHよりも、自身と長さにおいて通約可能な（直線）上の正方形だけ平方において大きい。
ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα αὐτὴν διελεῖ.
したがって、AHがHDよりも、自身と長さにおいて通約可能な（直線）上の正方形だけ平方において大きいので、もしDH上の正方形の4分の1に等しい（矩形）が、正方形の不足を伴って AHに沿って応用されるならば、それは彼女（AH）を通約可能なもの（線分）に分割する。
τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ. καὶ ἤχθωσαν διὰ τῶν Ε, Ζ, Η σημείων τῇ ΑΓ παράλληλοι αἱ ΕΘ, ΖΙ, ΗΚ·
したがって、DHがEにおいて2等分されたとせよ。 そして、EH上の正方形に等しい（矩形）が、正方形の不足を伴ってAHに沿って応用されたとせよ、そしてそれをAZ, ZHによって囲まれる（矩形）とせよ。 そして、点E, Z, Hを通ってACに平行な直線EG, ZI, HKが引かれたとせよ。
σύμμετροι ἄρα εἰσὶν αἱ ΑΖ, ΖΗ·
したがってAZ, ZHは通約可能である。
σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΖ, ΖΗ σύμμετροί εἰσι μήκει, καὶ ἡ ΑΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΑΖ, ΖΗ σύμμετρός ἐστι μήκει.
したがって領域AIもZKと通約可能である。 そして、AZ, ZHが長さにおいて通約可能であるから、したがって全体のAHもAZ, ZHのそれぞれと長さにおいて通約可能である。
ῥητὴ δὲ ἡ ΑΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει·
そして、AHは有理であってACと長さにおいて通約不可能である。
ὥστε καὶ αἱ ΑΖ, ΖΗ. ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΙ, ΖΚ μέσον ἐστίν.
したがってAZ, ZHもそう（有理であってACと長さにおいて通約不可能）である。 したがって、AI, ZKのそれぞれは中項（領域）である。
πάλιν, ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ μήκει, καὶ ἡ ΔΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΔΕ, ΕΗ σύμμετρός ἐστι μήκει.
再び、DEがEHと長さにおいて通約可能であるから、したがってDHもDE, EHのそれぞれと長さにおいて通約可能である。
ῥητὴ δὲ ἡ ΗΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει·
そして、HDは有理であってACと長さにおいて通約不可能である。
ῥητὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΔΕ, ΕΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει·
したがってDE, EHのそれぞれも有理であってACと長さにおいて通約不可能である。
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΔΘ, ΕΚ μέσον ἐστίν.
したがって、DG, EKのそれぞれは中項（領域）である。
καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΗ, ΗΔ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ μήκει ἡ ΑΗ τῇ ΗΔ. ἀλλʼ ἡ μὲν ΑΗ τῇ ΑΖ σύμμετρός ἐστι μήκει, ἡ δὲ ΔΗ τῇ ΕΗ·
そして、AH, HDが平方においてのみ通約可能であるから、したがってAHはHDと長さにおいて通約不可能である。 しかし、AHはAZと長さにおいて通約可能であり、かつDHはEHと長さにおいて通約可能である。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΕΗ μήκει.
したがってAZはEHと長さにおいて通約不可能である。
ὡς δὲ ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ·
そして、AZのEHに対する比は、 AIのEKに対する比と等しい。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΙ τῷ ΕΚ.
συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΝΞ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν ὂν τῷ ΛΜ·
したがって、AIはEKと通約不可能である。
περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ. ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
したがって、AIに等しい正方形LMが作られ、かつZKに等しい正方形NXが、それ（LM）と角を共通にして差し引かれたとせよ。 したがって正方形LM, NXは同一の対角線の周りにある。 それらの対角線をOPとし、図形が完成されたとせよ。
ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ· ὡς δὲ ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΕΚ πρὸς τὸ ΖΚ·
さて、AZ, ZHによって囲まれる長方形がEH上の正方形と等しいから、したがってAZのEHに対する比は、EHのZHに対する比と等しい。 しかし、AZのEHに対する比はAIのEKに対する比と等しく、かつEHのZHに対する比は、 EKのZKに対する比と等しい。
καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ, οὕτως τὸ ΕΚ πρὸς τὸ ΖΚ·
したがって、AI of EKに対する比は、EKのZKに対する比と等しい。
τῶν ἄρα ΑΙ, ΖΚ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ. ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ, ΝΞ τετραγώνων μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ· καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΙ τῷ ΛΜ, τὸ δὲ ΖΚ τῷ ΝΞ·
したがって、AI, ZKの比例中項はEKである。 しかし、正方形LM, NXの比例中項もまたMNであり、そしてAIはLMと等しく、かつZKはNXと等しい。
καὶ τὸ ΕΚ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΝ. ἀλλὰ τὸ μὲν ΜΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ΛΞ, τὸ δὲ ΕΚ ἴσον τῷ ΔΘ·
したがって、EKも MNと等しい。 しかし、MNはLXと等しく、かつEKはDGと等しい。
καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΚ ἴσον τοῖς ΛΜ, ΝΞ·
したがって、全体DKはグノーモンUFXとNX（の和）に等しい。 そして、AKもLM, NX（の和）に等しい。
λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΛΝ τετραγώνῳ·
したがって、残りのABはST、すなわちLN上の正方形に等しい。
ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.
したがってLNは領域ABを平方する。
λέγω, ὅτι ἡ ΛΝ μέσης ἀποτομή ἐστι δευτέρα.
今や、私はLNが第2のメセーのアポトメーであると主張する。
ἐπεὶ γὰρ μέσα ἐδείχθη τὰ ΑΙ, ΖΚ καί ἐστιν ἴσα τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, μέσον ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ·
というのも、AI, ZKは中項（領域）であると示され、かつそれらはLO, ONのそれぞれの上（の正方形）に等しいから、したがってLO, ONのそれぞれの上（の正方形）も中項（領域）である。
μέση ἄρα ἑκατέρα τῶν ΛΟ, ΟΝ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ, σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΟ τῷ ἀπὸ τῆς ΟΝ. πάλιν, ἐπεὶ ἀσύμμετρον ἐδείχθη τὸ ΑΙ τῷ ΕΚ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΛΜ τῷ ΜΝ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΛΟ τῷ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ·
したがってLO, ONのそれぞれは中線である。 そして、 AIがZKと通約可能であるから、したがってLO上の正方形もON上の正方形と通約可能である。 再び、AIがEKと通約不可能であると示されたから、したがってLMもMNと通約不可能であり、すなわちLO上の正方形はLO, ONによって囲まれる（矩形）と通約不可能である。
ὥστε καὶ ἡ ΛΟ ἀσύμμετρός ἐστι τῇ ΟΝ·
それゆえLOもONと通約不可能である。
αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι.
したがってLO, ONは平方においてのみ通約可能な中線である。
λέγω δή, ὅτι καὶ μέσον περιέχουσιν.
今や、私はそれらが中項（領域）を囲むと主張する。
ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐδείχθη τὸ ΕΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ·
というのも、EKは中項（領域）であると示され、かつそれはLO, ONによって囲まれる（矩形）と等しいから、したがってLO, ONによって囲まれる（矩形）も中項（領域）である。
ὥστε αἱ ΛΟ, ΟΝ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι.
それゆえ、LO, ONは平方においてのみ通約可能な中線であって、中項（領域）を囲む。
ἡ ΛΝ ἄρα μέσης ἀποτομή ἐστι δευτέρα·
したがって、LNは第2のメセーのアポトメーである。
καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.
そしてそれは領域ABを平方する。
ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι δευτέρα·
したがって、領域ABを平方する（直線）は第2のメセーのアポトメーである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。