§10.prop3.92ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς δευτέρας, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη.
如果一个区域由一条有理线和第二离线所包围，那么产生该区域的线是第一中线离线。
χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ καὶ ἀποτομῆς δευτέρας τῆς ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη.
设区域AB由有理线AC与第二离线AD包围；我说，产生区域AB的线是第一中线离线。
ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆς προσαρμοζούσης τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
因为，设DH为AD的伴线；因此AH、HD是仅在平方上可共测的有理线，且伴线DH在长度上与设定的有理线AC可共测，而整体AH比伴线HD在平方上大一个在长度上与自身可共测的线上的正方形。
ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΔ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ.
由于，AH比HD在平方上大一个在长度上与自身可共测的线上的正方形，因此，如果将一个等于HD上正方形四分之一的矩形贴合到AH上，并缺一个正方形，它就将它（AH）分成在长度上可共测的部分。
τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε· καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ·
因此，设DH在E点被二等分；且将一个等于EH上正方形的矩形贴合到AH上，且缺一个正方形，并设它是由AZ、ZH所包围的矩形；因此AZ在长度上与ZH可共测。
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει. καὶ ἡ ΑΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΑΖ, ΖΗ σύμμετρός ἐστι μήκει.
因此AH在长度上与AZ、ZH的每一个也可共测。
ῥητὴ δὲ ἡ ΑΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΖ, ΖΗ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΙ, ΖΚ μέσον ἐστίν.
而AH是有理的，且在长度上与AC不可共测；因此AZ、ZH的每一个也是有理的，且在长度上与AC不可共测；因此区域AI、ZK的每一个是中项。
πάλιν, ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ, καὶ ἡ ΔΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΔΕ, ΕΗ σύμμετρός ἐστιν.
再次，由于DE与EH可共测，因此DH与DE、EH的每一个也可共测。
ἀλλʼ ἡ ΔΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ΑΓ μήκει.
然而DH在长度上与 AC可共测。
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΔΘ, ΕΚ ῥητόν ἐστιν.
因此，区域DG、EK的每一个是有理的。
συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΝΞ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν ὂν τῷ ΛΜ τὴν ὑπὸ τῶν ΛΟΜ· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα ἐστὶ διάμετρον τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα.
因此，设作一个等于AI的正方形LM，且减去等于ZK的正方形NX，使其与正方形LM具有公共角 ∠LOM；因此正方形LM、NX在同一对角线上。
ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
设它们共同的对角线为OP，并画出整个图形。
ἐπεὶ οὖν τὰ ΑΙ, ΖΚ μέσα ἐστὶ καί ἐστιν ἴσα τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ μέσα ἐστίν· καὶ αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι.
由于，区域AI、ZK是中项，且它们分别等于LO、ON上的正方形，因此LO、ON上的正方形也是中项；因此LO、ON 也是仅在平方上可共测的中线。
καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ·
由于由AZ、ZH所包围的矩形等于EH上的正方形，因此，AZ与EH之比，等于EH与ZH之比。
ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ· ὡς δὲ ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως τὸ ΕΚ πρὸς τὸ ΖΚ· τῶν ἄρα ΑΙ, ΖΚ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ. ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ, ΝΞ τετραγώνων μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ·
但由于AZ与EH之比，等于AI与EK之比，而EH与ZH之比，等于EK与ZK之比；因此EK是AI、ZK的比例中项。
καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΙ τῷ ΛΜ, τὸ δὲ ΖΚ τῷ ΝΞ·
但是在正方形LM、NX之间，MN也是比例中项，且AI等于LM，而ZK等于NX；因此MN也等于EK。
καὶ τὸ ΜΝ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΕΚ. ἀλλὰ τῷ μὲν ΕΚ ἴσον τὸ ΔΘ, τῷ δὲ ΜΝ ἴσον τὸ ΛΞ·
但EK等于DG，而MN等于LX；因此整体DK 等于磬折形UFX与NX之和。
ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ. ἐπεὶ οὖν ὅλον τὸ ΑΚ ἴσον ἐστὶ τοῖς ΛΜ, ΝΞ, ὧν τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΤΣ. τὸ δὲ ΤΣ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΛΝ·
由于，整个AK等于LM、NX之和，其中DK等于磬折形UFX与NX之和，因此余下的AB等于TS。
τὸ ἀπὸ τῆς ΛΝ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒ χωρίῳ· ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.
而TS是LN上的正方形；因此LN上的正方形等于区域AB；因此LN产生区域AB。
λέγω, ὅτι ἡ ΛΝ μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη.
我说，LN是第一中线离线。
ἐπεὶ γὰρ ῥητόν ἐστι τὸ ΕΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΛΞ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΞ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ. μέσον δὲ ἐδείχθη τὸ ΝΞ·
因为，由于EK是有理的，且等于LX，因此LX是有理的，即由LO、ON所包围的矩形。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΞ τῷ ΝΞ·
而NX被证明是中项；因此LX与NX 不可共测。
ὡς δὲ τὸ ΛΞ πρὸς τὸ ΝΞ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΛΟ πρὸς ΟΝ· αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα ἀσύμμετροί εἰσι μήκει.
且由于LX与NX之比，等于LO与ON之比；因此LO、ON在长度上不可共测。
αἱ ἄρα ΛΟ, ΟΝ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι· ἡ ΛΝ ἄρα μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη·
因此LO、ON是仅在平方上可共测的中线，且包围一个有理矩形；因此LN是第一中线离线。
καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.
且它产生区域AB。
ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，产生区域AB的线是第一中线离线；这就是所要证明的。