§10.prop3.91ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς πρώτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἀποτομή ἐστιν.
もし領域が有理（直線）と第1のアポトメーによって囲まれるならば、その領域を平方する（直線）はアポトメーである。
περιεχέσθω γὰρ χωρίον τὸ ΑΒ ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ καὶ ἀποτομῆς πρώτης τῆς ΑΔ·
実際、領域ABが有理（直線）ACと第1のアポトメーADによって囲まれているとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἀποτομή ἐστιν.
私は、領域ABを平方する（直線）はアポトメーであると主張する。
ἐπεὶ γὰρ ἀποτομή ἐστι πρώτη ἡ ΑΔ, ἔστω αὐτῇ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ·
というのも、ADは第1のアポトメーであるから、これへの付加線をDHとせよ。
αἱ ΑΗ, ΗΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
したがってAH, HDは平方においてのみ通約可能な有理（直線）である。
καὶ ὅλη ἡ ΑΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ, καὶ ἡ ΑΗ τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει·
そして全体AHは設定された有理（直線）ACと通約可能であり、かつAHはHDよりも、自身と長さにおいて通約可能な（直線）上の正方形だけ平方において大きい。
ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ.
したがって、もし DH上の正方形の4分の1に等しい（矩形）が、正方形の不足を伴ってAHに沿って応用されるならば、それは彼女（AH）を通約可能なもの（線分）に分割する。
τετμήσθω ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ·
DHがEにおいて2等分され、かつEH上の正方形に等しい（矩形）が、正方形の不足を伴ってAHに沿って応用されたとせよ、そしてそれをAZ, ZHによって囲まれる（矩形）とせよ。
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ. καὶ διὰ τῶν Ε, Ζ, Η σημείων τῇ ΑΓ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΕΘ, ΖΙ, ΗΚ.
καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει, καὶ ἡ ΑΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΑΖ, ΖΗ σύμμετρός ἐστι μήκει.
したがってAZは長さにおいてZHと通約可能である。 そして、点E, Z, Hを通って、ACに平行な直線EG, ZI, HKが引かれたとせよ。 そして、AZがZHと長さにおいて通約可能であるから、したがって全体のAHもAZ, ZHのそれぞれと長さにおいて通約可能である。
ἀλλὰ ἡ ΑΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ΑΓ·
しかしAHはACと通約可能である。
καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΖ, ΖΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ΑΓ μήκει.
したがって、AZ, ZHのそれぞれもACと長さにおいて通約可能である。
καί ἐστι ῥητὴ ἡ ΑΓ·
そしてACは有理である。
ῥητὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΖ, ΖΗ·
したがってAZ, ZHのそれぞれも有理である。
ὥστε καὶ ἑκάτερον τῶν ΑΙ, ΖΚ ῥητόν ἐστιν.
それゆえ、AI, ZKのそれぞれも有理（領域）である。
καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ μήκει, καὶ ἡ ΔΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΔΕ, ΕΗ σύμμετρός ἐστι μήκει.
そして、DEがEHと長さにおいて通約可能であるから、したがってDHもDE, EHのそれぞれと長さにおいて通約可能である。
ῥητὴ δὲ ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει·
そしてDHは有理であってACと長さにおいて通約不可能である。
ῥητὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΔΕ, ΕΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει·
したがってDE, EHのそれぞれも有理であってACと長さにおいて通約不可能である。
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΔΘ, ΕΚ μέσον ἐστίν.
したがって、DG, EKのそれぞれは中項（領域）である。
κείσθω δὴ τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον τετράγωνον ἀφῃρήσθω κοινὴν γωνίαν ἔχον αὐτῷ τὴν ὑπὸ ΛΟΜ τὸ ΝΞ·
さて、AIに等しい正方形LMが置かれ、かつ ZKに等しい正方形NXが、それ（LM）と角∠LOMを共通の角として有して差し引かれたとせよ。
περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα.
したがって正方形LM, NXは同一の対角線の周りにある。
ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
それらの対角線をOPとし、図形が完成されたとせよ。
ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ περιεχόμενον ὀρθογώνιον τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ τετραγώνῳ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ, ὡς δὲ ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΕΚ πρὸς τὸ ΚΖ·
さて、AZ, ZHによって囲まれる長方形が EH上の正方形と等しいから、したがってAZのEHに対する比は、EHのZHに対する比と等しい。 しかし、AZのEHに対する比はAIのEKに対する比と等しく、かつEHのZHに対する比はEKのKZに対する比と等しい。
τῶν ἄρα ΑΙ, ΚΖ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ. ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ, ΝΞ μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ, ὡς ἐν τοῖς ἔμπροσθεν ἐδείχθη, καί ἐστι τὸ ΑΙ τῷ ΛΜ τετραγώνῳ ἴσον, τὸ δὲ ΚΖ τῷ ΝΞ·
したがって、AI, KZの比例中項はEKである。 しかし、前に示されたように、LM, NXの比例中項もまたMNであり、そしてAIは正方形LMと等しく、かつKZはNXと等しい。
καὶ τὸ ΜΝ ἄρα τῷ ΕΚ ἴσον ἐστίν.
したがって、MNもEKと等しい。
ἀλλὰ τὸ μὲν ΕΚ τῷ ΔΘ ἐστιν ἴσον, τὸ δὲ ΜΝ τῷ ΛΞ·
しかし、EKはDGと等しく、かつMNはLXと等しい。
τὸ ἄρα ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΚ ἴσον τοῖς ΛΜ, ΝΞ τετραγώνοις·
したがって、DKはグノーモンUFXとNX（の和）に等しい。 そして AKも正方形LM, NX（の和）に等しい。
λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤ. τὸ δὲ ΣΤ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΝ ἐστι τετράγωνον·
したがって、残りのABはSTと等しい。 そしてSTはLN上の正方形である。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΛΝ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒ·
したがってLN上の正方形はABと等しい。
ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ ΑΒ.
λέγω δή, ὅτι ἡ ΛΝ ἀποτομή ἐστιν.
それゆえ、LNはABを平方する。 今や、私はLNがアポトメーであると主張する。
ἐπεὶ γὰρ ῥητόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΑΙ, ΖΚ, καί ἐστιν ἴσον τοῖς ΛΜ, ΝΞ, καὶ ἑκάτερον ἄρα τῶν ΛΜ, ΝΞ ῥητόν ἐστιν, τουτέστι τὸ ἀπὸ ἑκατέρας τῶν ΛΟ, ΟΝ·
というのも、AI, ZKのそれぞれが有理（領域）であり、かつそれらはLM, NXに等しいから、したがってLM, NXのそれぞれも有理であり、すなわちLO, ONのそれぞれの上（の正方形が有理である）。
καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΛΟ, ΟΝ ῥητή ἐστιν.
したがってLO, ONのそれぞれも有理である。
πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ΔΘ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΛΞ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΛΞ. ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ΛΞ μέσον ἐστίν, τὸ δὲ ΝΞ ῥητόν, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΞ τῷ ΝΞ·
再び、DGは中項（領域）であり、かつそれはLXに等しいから、したがってLXも中項（領域）である。 さて、LXは中項（領域）であり、かつNXは有理であるから、したがってLXはNXと通約不可能である。
ὡς δὲ τὸ ΛΞ πρὸς τὸ ΝΞ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΛΟ πρὸς τὴν ΟΝ·
Lock、LXのNXに対する比は、LOのONに対する比と等しい。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΟ τῇ ΟΝ μήκει.
したがって、LOはONと長さにおいて通約不可能である。
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
そして両者は有理である。
αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがってLO, ONは平方においてのみ通約可能な有理（直線）である。
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΝ. καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον·
それゆえ、LNはアポトメーである。 そしてそれは領域ABを平方する。
ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἀποτομή ἐστιν.
したがって、領域ABを平方する（直線）はアポトメーである。
ἐὰν ἄρα χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς, καὶ τὰ ἑξῆς.
したがって、もし領域が有理（直線）によって（囲まれるならば）、以下同様。