§10.prop3.92ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς δευτέρας, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη.
만약 어떤 넓이가 유리선과 제2 아포토메에 의해 둘러싸인다면, 그 넓이를 제곱하는 (선)은 제1 미디얼 아포토메이다.
χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ καὶ ἀποτομῆς δευτέρας τῆς ΑΔ·
실제로 넓이 AB가 유리선 AC와 제2 아포토메 AD에 의해 둘러싸여 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη.
나는 넓이 AB를 제곱하는 (선)이 제1 미디얼 아포토메라고 주장한다.
ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ·
왜냐하면 AD에 대한 부가선을 DH라고 하자.
αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆς προσαρμοζούσης τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
그러므로 AH, HD는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선이고, 부가선 DH는 설정된 유리선 AC와 길이에서 통약할 수 있으며, 전체 AH는 부가선 HD보다 자신과 길이에서 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다.
ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΔ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ.
그러므로 AH가 HD보다 자신과 길이에서 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크므로, 만약 HD 위의 정사각형의 4분의 1과 같은 (직사각형)이 정사각형 모양이 부족한 상태로 AH에 따라 응용된다면, 그것은 그녀(AH)를 길이에서 통약할 수 있는 부분들로 나눈다.
τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε·
그러므로 DH가 E에서 이등분되었다고 하자.
καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ·
그리고 EH 위의 정사각형과 같은 (직사각형)이 정사각형 모양이 부족한 상태로 AH에 따라 응용되었다고 하고, 그것을 AZ, ZH에 의해 둘러싸인 직사각형이라고 하자.
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει.
그러므로 AZ는 길이에서 ZH와 통약할 수 있다.
καὶ ἡ ΑΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΑΖ, ΖΗ σύμμετρός ἐστι μήκει.
그러므로 AH도 AZ, ZH 각각과 길이에서 통약할 수 있다.
ῥητὴ δὲ ἡ ΑΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει·
그런데 AH는 유리선이면서 AC와 길이에서 통약할 수 없다.
καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΖ, ΖΗ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει·
그러므로 AZ, ZH 각각도 유리선이면서 AC와 길이에서 통약할 수 없다.
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΙ, ΖΚ μέσον ἐστίν.
그러므로 넓이 AI, ZK 각각은 미디얼이다.
πάλιν, ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ, καὶ ἡ ΔΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΔΕ, ΕΗ σύμμετρός ἐστιν.
다시, DE가 EH와 통약할 수 있으므로, 그러므로 DH도 DE, EH 각각과 통약할 수 있다.
ἀλλʼ ἡ ΔΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ΑΓ μήκει.
그런데 DH는 AC와 길이에서 통약할 수 있다.
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΔΘ, ΕΚ ῥητόν ἐστιν.
그러므로 넓이 DG, EK 각각은 유리적이다.
συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΝΞ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν ὂν τῷ ΛΜ τὴν ὑπὸ τῶν ΛΟΜ·
그러므로 AI와 같은 정사각형 LM을 만들고, ZK와 같은 정사각형 NX를 그것(LM)과 각 LOM을 공통으로 가지도록 빼내자.
περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα ἐστὶ διάμετρον τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα.
그러므로 정사각형 LM, NX는 같은 대각선 주위에 있다.
ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
그것들의 대각선을 OP라 하고, 도형을 완성해 그리자.
ἐπεὶ οὖν τὰ ΑΙ, ΖΚ μέσα ἐστὶ καί ἐστιν ἴσα τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ μέσα ἐστίν·
그러므로 AI, ZK는 미디얼이고 LO, ON 각각 위의 정사각형과 같으므로, 그러므로 LO, ON 각각 위의 정사각형도 미디얼이다.
καὶ αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι.
그러므로 LO, ON도 제곱에서만 통약할 수 있는 미디얼선이다.
καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ·
그리고 AZ, ZH에 의해 둘러싸인 직사각형이 EH 위의 정사각형과 같으므로, 그러므로 AZ가 EH에 대해 가지는 비율은 EH가 ZH에 대해 가지는 비율과 같다.
ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ·
그런데 AZ가 EH에 대해 가지는 비율은 AI가 EK에 대해 가지는 비율과 같고, EH가 ZH에 대해 가지는 비율은 EK가 ZK에 대해 가지는 비율과 같다.
ὡς δὲ ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως τὸ ΕΚ πρὸς τὸ ΖΚ·
그러므로 EK는 AI, ZK의 비례중항이다.
τῶν ἄρα ΑΙ, ΖΚ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ. ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ, ΝΞ τετραγώνων μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ·
그런데 정사각형 LM, NX의 비례중항도 MN이고, AI는 LM과 같으며, ZK는 NX와 같다.
καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΙ τῷ ΛΜ, τὸ δὲ ΖΚ τῷ ΝΞ·
그러므로 MN도 EK와 같다.
καὶ τὸ ΜΝ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΕΚ. ἀλλὰ τῷ μὲν ΕΚ ἴσον τὸ ΔΘ, τῷ δὲ ΜΝ ἴσον τὸ ΛΞ·
그런데 EK는 DG와 같고, MN은 LX와 같다.
ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ. ἐπεὶ οὖν ὅλον τὸ ΑΚ ἴσον ἐστὶ τοῖς ΛΜ, ΝΞ, ὧν τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΤΣ. τὸ δὲ ΤΣ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΛΝ·
그러므로 전체 DK는 그노몬 UFX와 NX의 합과 같다. 그러므로 전체 AK가 LM, NX의 합과 같고, 그 중 DK가 그노몬 UFX와 NX의 합과 같으므로, 그러므로 남은 AB는 TS와 같다. 그런데 TS는 LN 위의 정사각형이다.
τὸ ἀπὸ τῆς ΛΝ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒ χωρίῳ·
그러므로 LN 위의 정사각형은 넓이 AB와 같다.
ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.
그러므로 LN은 넓이 AB를 제곱한다.
λέγω, ὅτι ἡ ΛΝ μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη.
이제 나는 LN이 제1 미디얼 아포토메라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ ῥητόν ἐστι τὸ ΕΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΛΞ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΞ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ. μέσον δὲ ἐδείχθη τὸ ΝΞ·
왜냐하면 EK는 유리적이고 LX와 같으므로, 그러므로 LX는 유리적이다. 즉, LO, ON에 의해 둘러싸인 직사각형(이 유리적이다).
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΞ τῷ ΝΞ·
그리고 NX는 미디얼임이 증명되었으므로, 그러므로 LX는 NX와 통약할 수 없다.
ὡς δὲ τὸ ΛΞ πρὸς τὸ ΝΞ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΛΟ πρὸς ΟΝ·
그리고 LX가 NX에 대해 가지는 비율은 LO가 ON에 대해 가지는 비율과 같다.
αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα ἀσύμμετροί εἰσι μήκει.
그러므로 LO, ON은 길이에서 통약할 수 없다.
αἱ ἄρα ΛΟ, ΟΝ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι·
그러므로 LO, ON은 제곱에서만 통약할 수 있는 미디얼선이면서 유리적인 (직사각형)을 둘러싼다.
ἡ ΛΝ ἄρα μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη·
그러므로 LN은 제1 미디얼 아포토메이다.
καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.
그리고 그것은 넓이 AB를 제곱한다.
ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη·
그러므로 넓이 AB를 제곱하는 (선)은 제1 미디얼 아포토메이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.