§10.prop3.90εὑρεῖν τὴν ἕκτην ἀποτομήν.
第6のアポトメーを見出すこと。
Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α καὶ τρεῖς ἀριθμοὶ οἱ Ε, ΒΓ, ΓΔ λόγον μὴ ἔχοντες πρὸς ἀλλήλους, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
有理（直線）Aが設定され、かつ3つの数E, BΓ, ΓΔが、互いに対して平方数が平方数に対して有する比を持たないように設定されよ。
ἔτι δὲ καὶ ὁ ΓΒ πρὸς τὸν ΒΔ λόγον μὴ ἐχέτω, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
さらに、ΓΒも ΒΔに対して、平方数が平方数に対して有する比を持たないとせよ。
καὶ πεποιήσθω ὡς μὲν ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ὡς δὲ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Α·
そして、EのΒΓに対する比が、A上の正方形のΖΗ上の正方形に対する比と等しくなり、かつΒΓのΓΔに対する比が、ΖΗ上の正方形のΗΘ上の正方形に対する比と等しくなるように作られたとせよ。 さて、EのΒΓに対する比が、A上の正方形のΖΗ上の正方形に対する比と等しいから、したがってA上の正方形は ΖΗ上の正方形と通約可能である。 そしてA上の正方形は有理である。
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ·
したがってΖΗ上の正方形も有理である。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
それゆえ、ΖΗも有理である。 そして、EがΒΓに対して、平方数が平方数に対して有する比を持たないから、したがってA上の正方形もΖΗ上の正方形に対して、平方数が平方数に対して有する比を持たない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ ΖΗ μήκει.
それゆえ、AはΖΗと長さにおいて通約不可能である。
πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΘ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ·
再び、ΒΓのΓΔに対する比が、ΖΗ上の正方形のΗΘ上の正方形に対する比と等しいから、したがってΖΗ上の正方形はΗΘ上の正方形と通約可能である。 そしてΖΗ上の正方形は有理である。
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ·
したがってΗΘ上の正方形も有理である。
ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΗΘ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
それゆえ、ΗΘも有理である。 そして、 ΒΓがΓΔに対して、平方数が平方数に対して有する比を持たないから、したがってΖΗ上の正方形もΗΘ上の正方形に対して、平方数が平方数に対して有する比を持たない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει.
それゆえ、ΖΗはΗΘと長さにおいて通約不可能である。
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
そして両者は有理である。
αἱ ΖΗ, ΗΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがってΖΗ, ΗΘは平方においてのみ通約可能な有理である。
ἡ ἄρα ΖΘ ἀποτομή ἐστιν.
それゆえ、ΖΘはアポトメーである。
λέγω δή, ὅτι καὶ ἕκτη.
今や、それは第6（のアポトメー）でもあると主張する。
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς μὲν ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ὡς δὲ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ. ὁ δὲ Ε πρὸς τὸν ΓΔ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
というのも、EのΒΓに対する比が、A上の正方形のΖΗ上の正方形に対する比と等しく、かつΒΓの ΓΔに対する比が、ΖΗ上の正方形のΗΘ上の正方形に対する比と等しいから、したがって等比の関係により、EのΓΔに対する比は、A上の正方形のΗΘ上の正方形に対する比と等しい。 そして、EはΓΔに対して、平方数が平方数に対して有する比を持たない。
οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって、A上の正方形もΗΘ上の正方形に対して、平方数が平方数に対して有する比を持たない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ ΗΘ μήκει·
それゆえ、AはΗΘと長さにおいて通約不可能である。
οὐδετέρα ἄρα τῶν ΖΗ, ΗΘ σύμμετρός ἐστι τῇ Α ῥητῇ μήκει.
したがって、ΖΗ, ΗΘのいずれも、設定された有理（直線）Aと長さにおいて通約可能ではない。
ᾧ οὖν μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΘ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Κ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΓΒ πρὸς τὸν ΒΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ. ὁ δὲ ΓΒ πρὸς τὸν ΒΔ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
さて、ΖΗ上の正方形がΗΘ上の正方形よりも大きい（正方形）を、Κ上の正方形とせよ。 さて、ΒΓのΓΔに対する比が、ΖΗ上の正方形のΗΘ上の正方形に対する比と等しいから、したがって反転すると、ΓΒのΒΔに対する比は、ΖΗ上の正方形のΚ上の正方形に対する比と等しい。 そして、ΓΒはΒΔに対して、平方数が平方数に対して有する比を持たない。
οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって、ΖΗ上の正方形もΚ上の正方形に対して、平方数が平方数に対して有する比を持たない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Κ μήκει.
それゆえ、ΖΗはΚと長さにおいて通約不可能である。
καὶ δύναται ἡ ΖΗ τῆς ΗΘ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς Κ·
そしてΖΗはΗΘよりもΚ上の正方形だけ平方において大きい。
ἡ ΖΗ ἄρα τῆς ΗΘ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
したがって、ΖΗはΗΘよりも自身と長さにおいて通約不可能な（直線）上の正方形だけ平方において大きい。
καὶ οὐδετέρα τῶν ΖΗ, ΗΘ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ Α. ἡ ἄρα ΖΘ ἀποτομή ἐστιν ἕκτη.
そして、ΖΗ, ΗΘのいずれも、設定された有理（直線）Aと長さにおいて通約可能ではない。 したがって、ΖΘは第6のアポトメーである。
εὕρηται ἄρα ἡ ἕκτη ἀποτομὴ ἡ ΖΘ·
したがって、第6のアポトメーΖΘが見出された。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきものであった。