§10.prop3.88εὑρεῖν τὴν τετάρτην ἀποτομήν.
第4のアポトメーを見出すこと。
Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α καὶ τῇ Α μήκει σύμμετρος ἡ ΒΗ·
有理（直線）Aが設定され、かつAと長さにおいて通約可能な（直線）BH（が設定されよ）。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΗ. καὶ ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΔΖ, ΖΕ, ὥστε τὸν ΔΕ ὅλον πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΖ, ΕΖ λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
したがってBHも有理である。 そして2つの数ΔΖ, ΖΕが、全体としてのΔΕがそれぞれのΔΖ, ΕΖに対して、平方数が平方数に対して有する比を持たないように設定されよ。
καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ. σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ·
そして、ΔΕのΕΖに対する比が、ΒΗ上の正方形のΗΓ上の正方形に対する比と等しくなるように作られたとせよ。 したがってΒΗ上の正方形はΗΓ上の正方形と通約可能である。 そしてΒΗ上の正方形は有理である。
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ·
したがってΗΓ上の正方形も有理である。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΓ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
それゆえ、ΗΓは有理である。 そして、ΔΕがΕΖに対して、平方数が平方数に対して有する比を持たないから、したがってΒΗ上の正方形もΗΓ上の正方形に対して、平方数が平方数に対して有する比を持たない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ μήκει.
それゆえ、ΒΗはΗΓと長さにおいて通約不可能である。
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
そして両者は有理（直線）である。
αἱ ΒΗ, ΗΓ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがってΒΗ, ΗΓは平方においてのみ通約可能な有理（直線）である。
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ.
.
それゆえ、ΒΓはアポトメーである。
ὧι οὖν μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΓ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ, καὶ ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ὁ δὲ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
. さて、ΒΗ上の正方形がΗΓ上の正方形よりも大きい（正方形）を、Θ上の正方形とせよ。 さて、ΔΕの ΕΖに対する比が、ΒΗ上の正方形のΗΓ上の正方形に対する比と等しいから、したがって反転すると、ΕΔのΔΖに対する比は、ΗΒ上の正方形のΘ上の正方形に対する比と等しい。 そして、ΕΔはΔΖに対して、平方数が平方数に対して有する比を持たない。
οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって、ΗΒ上の正方形も Θ上の正方形に対して、平方数が平方数に対して有する比を持たない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει.
それゆえ、ΒΗはΘと長さにおいて通約不可能である。
καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς Θ·
そしてΒΗはΗΓよりもΘ上の正方形だけ平方において大きい。
ἡ ἄρα ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
したがって、ΒΗはΗΓよりも自身と長さにおいて通約不可能な（直線）上の正方形だけ平方において大きい。
καί ἐστιν ὅλη ἡ ΒΗ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ α.
そして、全体であるΒΗは設定された有理直線Aと長さにおいて通約可能である。
ἡ ἄρα ΒΓ ἀποτομή ἐστι τετάρτη.
したがって、ΒΓは第4のアポトメーである。
εὕρηται ἄρα ἡ τετάρτη ἀποτομή·
したがって、第4のアポトメーが見出された。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきものであった。
§10.prop3.89εὑρεῖν τὴν πέμπτην ἀποτομήν.
第5のアポトメーを見出すこと。
Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α, καὶ τῇ Α μήκει σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΗ·
有理（直線）Aが設定され、かつΓΗがAと長さにおいて通約可能であるとせよ。
ῥητὴ ἄρα ἡ ΓΗ. καὶ ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΔΖ, ΖΕ, ὥστε τὸν ΔΕ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΖ, ΖΕ λόγον πάλιν μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがってΓΗは有理である。 そして、2つの数ΔΖ, ΖΕが、再び全体としてのΔΕがそれぞれのΔΖ, ΖΕに対して、平方数が平方数に対して有する比を持たないように設定されよ。
καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΖΕ πρὸς τὸν ΕΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ. ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ·
そして、ΖΕのΕΔに対する比が、ΓΗ上の正方形のΗΒ上の正方形に対する比と等しくなるように作られたとせよ。 したがって、ΗΒ上の正方形も有理である。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΗ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ, ὁ δὲ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
それゆえ、ΒΗも有理である。 そして、ΔΕのΕΖに対する比は、ΒΗ上の正方形のΗΓ上の正方形に対する比と等しいから、そして、ΔΕはΕΖに対して、平方数が平方数に対して有する比を持たない。 したがって、ΒΗ上の正方形もΗΓ上の正方形に対して、平方数が平方数に対して有する比を持たない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ μήκει.
それゆえ、ΒΗはΗΓと長さにおいて通約不可能である。
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
そして両者は有理である。
αἱ ΒΗ, ΗΓ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがってΒΗ, ΗΓは平方においてのみ通約可能な有理である。
ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστιν.
それゆえ、ΒΓはアポトメーである。
λέγω δή, ὅτι καὶ πέμπτη.
¦20 今や、それは第5（のアポトメー）でもあると主張する。
ὧι γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΓ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ, οὕτως ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ὁ δὲ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
というのも、ΒΗ上の正方形がΗΓ上の正方形よりも大きい（正方形）を、Θ上の正方形とせよ。 さて、ΒΗ上の正方形のΗΓ上の正方形に対する比が、ΔΕのΕΖに対する比と等しいから、したがって反転すると、ΕΔのΔΖに対する比は、ΒΗ上の正方形のΘ上の正方形に対する比と等しい。 そして、ΕΔはΔΖに対して、平方数が平方数に対して有する比を持たない。
οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって、ΒΗ上の正方形もΘ上の正方形に対して、平方数が平方数に対して有する比を持たない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει.
それゆえ、ΒΗはΘと長さにおいて通約不可能である。
καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς Θ·
そして ΒΗはΗΓよりもΘ上の正方形だけ平方において大きい。
ἡ ΗΒ ἄρα τῆς ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
したがって、ΗΒはΗΓよりも自身と長さにおいて通約不可能な（直線）上の正方形だけ平方において大きい。
καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΓΗ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Α μήκει·
そして、付加する直線であるΓΗは、設定された有理直線Aと長さにおいて通約可能である。
ἡ ἄρα ΒΓ ἀποτομή ἐστι πέμπτη.
したがって、ΒΓは第5のアポトメーである。
εὕρηται ἄρα ἡ πέμπτη ἀποτομὴ ἡ ΒΓ·
¦35 したがって、第5のアポトメーΒΓが見出された。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきものであった。