§10.prop3.90εὑρεῖν τὴν ἕκτην ἀποτομήν.
제6 아포토메를 찾기.
Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α καὶ τρεῖς ἀριθμοὶ οἱ Ε, ΒΓ, ΓΔ λόγον μὴ ἔχοντες πρὸς ἀλλήλους, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
유리선 A가 설정되어 있고, 세 수 E, BΓ, ΓΔ가 서로에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비율을 가지지 않도록 설정되어 있다고 하자.
ἔτι δὲ καὶ ὁ ΓΒ πρὸς τὸν ΒΔ λόγον μὴ ἐχέτω, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그리고 게다가 ΓΒ도 ΒΔ에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비율을 가지지 않도록 하자.
καὶ πεποιήσθω ὡς μὲν ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ὡς δὲ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Α·
그리고 E가 BΓ에 대해 가지는 비율이 A 위의 정사각형이 ZΗ 위의 정사각형에 대해 가지는 비율과 같게 되고, BΓ가 ΓΔ에 대해 가지는 비율이 ZΗ 위의 정사각형이 HΘ 위의 정사각형에 대해 가지는 비율과 같게 되도록 만들어졌다고 하자. 그러므로 E가 BΓ에 대해 가지는 비율이 A 위의 정사각형이 ZΗ 위의 정사각형에 대해 가지는 비율과 같으므로, 그러므로 A 위의 정사각형은 ZΗ 위의 정사각형과 통약할 수 있다. 그런데 A 위의 정사각형은 유리적이다.
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ·
그러므로 ZΗ 위의 정사각형도 유리적이다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 ZΗ도 유리선이다. 그리고 E가 BΓ에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비율을 가지지 않으므로, 그러므로 A 위의 정사각형도 ZΗ 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비율을 가지지 않는다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ ΖΗ μήκει.
그러므로 A는 ZΗ와 길이에서 통약할 수 없다.
πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΘ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ·
다시, BΓ가 ΓΔ에 대해 가지는 비율이 ZΗ 위의 정사각형이 HΘ 위의 정사각형에 대해 가지는 비율과 같으므로, 그러므로 ZΗ 위의 정사각형은 HΘ 위의 정사각형과 통약할 수 있다. 그런데 ZΗ 위의 정사각형은 유리적이다.
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ·
그러므로 HΘ 위의 정사각형도 유리적이다.
ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΗΘ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 HΘ도 유리선이다. 그리고 BΓ가 ΓΔ에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비율을 가지지 않으므로, 그러므로 ZΗ 위의 정사각형도 HΘ 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비율을 가지지 않는다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει.
그러므로 ZΗ는 HΘ와 길이에서 통약할 수 없다.
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
그리고 둘 다 유리선이다.
αἱ ΖΗ, ΗΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 ZΗ, HΘ는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선이다.
ἡ ἄρα ΖΘ ἀποτομή ἐστιν.
그러므로 ZΘ는 아포토메이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ ἕκτη.
이제 나는 그것이 제6 아포토메이기도 하다고 주장한다.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς μὲν ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ὡς δὲ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ. ὁ δὲ Ε πρὸς τὸν ΓΔ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
왜냐하면 E가 BΓ에 대해 가지는 비율이 A 위의 정사각형이 ZΗ 위의 정사각형에 대해 가지는 비율과 같고, BΓ가 ΓΔ에 대해 가지는 비율이 ZΗ 위의 정사각형이 HΘ 위의 정사각형에 대해 가지는 비율과 같으므로, 그러므로 등비의 원리에 의해, E가 ΓΔ에 대해 가지는 비율은 A 위의 정사각형이 HΘ 위의 정사각형에 대해 가지는 비율과 같다. 그런데 E는 ΓΔ에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비율을 가지지 않는다.
οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 A 위의 정사각형도 HΘ 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비율을 가지지 않는다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ ΗΘ μήκει·
그러므로 A는 HΘ와 길이에서 통약할 수 없다.
οὐδετέρα ἄρα τῶν ΖΗ, ΗΘ σύμμετρός ἐστι τῇ Α ῥητῇ μήκει.
그러므로 ZΗ, HΘ 중 어느 것도 유리선 A와 길이에서 통약할 수 없다.
ᾧ οὖν μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΘ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Κ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΓΒ πρὸς τὸν ΒΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ. ὁ δὲ ΓΒ πρὸς τὸν ΒΔ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러면 ZΗ 위의 정사각형이 HΘ 위의 정사각형보다 더 큰 만큼을 K 위의 정사각형이라고 하자. 그러므로 BΓ가 ΓΔ에 대해 가지는 비율이 ZΗ 위의 정사각형이 HΘ 위의 정사각형에 대해 가지는 비율과 같으므로, 그러므로 반전하면, ΓΒ가 ΒΔ에 대해 가지는 비율은 ZΗ 위의 정사각형이 K 위의 정사각형에 대해 가지는 비율과 같다. 그런데 ΓΒ는 ΒΔ에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비율을 가지지 않는다.
οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 ZΗ 위의 정사각형도 K 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비율을 가지지 않는다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Κ μήκει.
그러므로 ZΗ는 K와 길이에서 통약할 수 없다.
καὶ δύναται ἡ ΖΗ τῆς ΗΘ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς Κ·
그리고 ZΗ는 HΘ보다 K 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다.
ἡ ΖΗ ἄρα τῆς ΗΘ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
그러므로 ZΗ는 HΘ보다 자신과 길이에서 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다.
καὶ οὐδετέρα τῶν ΖΗ, ΗΘ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ Α. ἡ ἄρα ΖΘ ἀποτομή ἐστιν ἕκτη.
그리고 ZΗ, HΘ 중 어느 것도 설정된 유리선 A와 길이에서 통약할 수 없다. 그러므로 ZΘ는 제6 아포토메이다.
εὕρηται ἄρα ἡ ἕκτη ἀποτομὴ ἡ ΖΘ·
그러므로 제6 아포토메 ZΘ가 찾아졌다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여주고자 하던 것이었다.