§10.prop3.85εὑρεῖν τὴν πρώτην ἀποτομήν.
第1のアポトメーを見出すこと。
Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α, καὶ τῇ Α μήκει σύμμετρος ἔστω ἡ ΒΗ·
有理（直線）Aが設定され、BHはAと長さにおいて通約可能であるとせよ。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΗ. καὶ ἐκκείσθωσαν δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΔΕ, ΕΖ, ὧν ἡ ὑπεροχὴ ὁ ΖΔ μὴ ἔστω τετράγωνος·
したがってBHもまた有理である。 そして2つの平方数DE, EZが設定され、それらの差ZD は平方数ではないとせよ。
οὐδʼ ἄρα ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
したがって、EDはDZに対して、平方数が平方数に対して有する比を持たない。
καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ τετράγωνον·
そして、EDのDZに対する比が、BH上の正方形のHΓ上の正方形に対する比と等しくなるように作られたとせよ。
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ·
したがって、BH上の正方形はHΓ上の正方形と通約可能である。 そしてBH上の正方形は有理である。
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ·
したがってHΓ上の正方形も有理である。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΗΓ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
それゆえ、HΓもまた有理である。 そして、EDがDZに対して、平方数が平方数に対して有する比を持たないから、したがってBH上の正方形もHΓ上の正方形に対して、平方数が平方数に対して有する比を持たない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ μήκει.
それゆえ、BHはHΓと長さにおいて通約不可能である。
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
そして両者は有理である。
αἱ ΒΗ, ΗΓ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがってBH, HΓは平方においてのみ通約可能な有理（直線）である。
ἡ ἄρα ΒΓ ἀποτομή ἐστιν.
それゆえ、BΓはアポトメーである。
λέγω δή, ὅτι καὶ πρώτη.
今や、それは第1（のアポトメー）でもあると主張する。
ὧι γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΓ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Θ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΖΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ, καὶ ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ὁ δὲ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
というのも、BH上の正方形がHΓ上の正方形よりも大きい（正方形）を、 Θ上の正方形とせよ。 そして、EDのZΔに対する比が、BH上の正方形のHΓ上の正方形に対する比と等しいから、したがって反転すると、HB上の正方形のΘ上の正方形に対する比は、ΔEのEZに対する比と等しい。 そしてDEはEZに対して、平方数が平方数に対して有する比を持つ。
ἑκάτερος γὰρ τετράγωνός ἐστιν·
なぜなら、それぞれが平方数だからである。
καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって、HB上の正方形もΘ上の正方形に対して、平方数が平方数に対して有する比を持つ。
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει.
それゆえ、BHはΘと長さにおいて通約可能である。
καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς Θ·
そしてBHはHΓよりもΘ上の正方形だけ平方において大きい。
ἡ ΒΗ ἄρα τῆς ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
したがって、BHはHΓよりも自身と長さにおいて通約可能な直線上の正方形だけ平方において大きい。
καί ἐστιν ἡ ὅλη ἡ ΒΗ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ Α. ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστι πρώτη.
そして、全体であるBHは設定された有理直線Aと長さにおいて通約可能である。 したがって、BΓは第1のアポトメーである。
εὕρηται ἄρα ἡ πρώτη ἀποτομὴ ἡ ΒΓ·
したがって、第1のアポトメーBΓが見出された。
ὅπερ ἔδει εὑρεῖν.
これこそ見出すべきものであった。
§10.prop3.86εὑρεῖν τὴν δευτέραν ἀποτομήν.
第2のアポトメーを見出すこと。
Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α καὶ τῇ Α σύμμετρος μήκει ἡ ΗΓ. ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΓ. καὶ ἐκκείσθωσαν δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΔΕ, ΕΖ, ὧν ἡ ὑπεροχὴ ὁ ΔΖ μὴ ἔστω τετράγωνος.
有理（直線）Aが設定され、HΓはAと長さにおいて通約可能であるとせよ。 したがってHΓは有理である。 そして2つの平方数DE, EZが設定され、それらの差ΔZ は平方数ではないとせよ。
καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΖΔ πρὸς τὸν ΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ τετράγωνον.
そして、ZΔのΔEに対する比が、ΓH上の正方形のHB上の正方形に対する比と等しくなるように作られたとせよ。
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΗ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ τετραγώνῳ.
したがって、 ΓH上の正方形はHB上の正方形と通約可能である。
ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ. ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ·
そしてHΓ上の正方形は有理である。 したがってHB上の正方形もまた有理である。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΓΗ τῇ ΗΒ μήκει.
それゆえ、BHは有理である。 そして、HΓ上の正方形がHB上の正方形に対して、平方数が平方数に対して有する比を持たないから、ΓHはHBと長さにおいて通約不可能である。
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
そして両者は有理である。
αἱ ΓΗ, ΗΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがってΓH, HBは平方においてのみ通約可能な有理（直線）である。
ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστιν.
それゆえ、BΓはアポトメーである。
λέγω δή, ὅτι καὶ δευτέρα.
今や、それは第2（のアポトメー）でもあると主張する。
ὧι γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΓ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ, οὕτως ὁ ΕΔ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΔΖ ἀριθμόν, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ, οὕτως ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ. καί ἐστιν ἑκάτερος τῶν ΔΕ, ΕΖ τετράγωνος·
というのも、BH上の正方形がHΓ上の正方形よりも大きい（正方形）を、Θ上の正方形とせよ。 さて、BH上の正方形のHΓ上の正方形に対する比が、数EΔの数ΔZに対する比と等しいから、したがって反転すると、BH上の正方形のΘ上の正方形に対する比は、ΔEのEZに対する比と等しい。 そして ΔE, EZのそれぞれは平方数である。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって、BH上の正方形のΘ上の正方形に対する比は、平方数が平方数に対して有する比を持つ。
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει.
それゆえ、BHはΘと長さにおいて通約可能である。
καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς Θ·
精度、BHはHΓよりもΘ上の正方形だけ平方において大きい。
ἡ ΒΗ ἄρα τῆς ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
したがって、BHはHΓよりも自身と長さにおいて通約可能な直線上の正方形だけ平方において大きい。
καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΓΗ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμμετρος τῇ Α. ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστι δευτέρα.
そして、適合する直線であるΓHは設定された有理直線Aと通約可能である。 したがって、BΓは第2のアポトメーである。
εὕρηται ἄρα δευτέρα ἀποτομὴ ἡ ΒΓ·
したがって、第2のアポトメーBΓが見出された。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきものであった。