§10.prop3.85εὑρεῖν τὴν πρώτην ἀποτομήν.
제1 아포토메를 찾기.
Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α, καὶ τῇ Α μήκει σύμμετρος ἔστω ἡ ΒΗ·
유리선 A가 설정되어 있고, BH가 A와 길이에서 통약할 수 있다고 하자.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΗ. καὶ ἐκκείσθωσαν δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΔΕ, ΕΖ, ὧν ἡ ὑπεροχὴ ὁ ΖΔ μὴ ἔστω τετράγωνος·
그러므로 BH도 유리선이다. 그리고 두 개의 제곱수 DE, EZ가 설정되어 있고, 그 차이 ZD가 제곱수가 아니라고 하자.
οὐδʼ ἄρα ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
그러므로 ED는 DZ에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비율을 가지지 않는다.
καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ τετράγωνον·
그리고 ED가 DZ에 대해 가지는 비율이 BH 위의 정사각형이 HΓ 위의 정사각형에 대해 가지는 비율과 같게 되도록 만들어졌다고 하자.
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ·
그러므로 BH 위의 정사각형은 HΓ 위의 정사각형과 통약할 수 있다. 그런데 BH 위의 정사각형은 유리적이다.
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ·
그러므로 HΓ 위의 정사각형도 유리적이다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΗΓ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 HΓ도 유리선이다. 그리고 ED가 DZ에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비율을 가지지 않으므로, 그러므로 BH 위의 정사각형도 HΓ 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비율을 가지지 않는다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ μήκει.
그러므로 BH는 HΓ와 길이에서 통약할 수 없다.
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
그리고 둘 다 유리선이다.
αἱ ΒΗ, ΗΓ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 BH, HΓ는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선이다.
ἡ ἄρα ΒΓ ἀποτομή ἐστιν.
그러므로 BΓ는 아포토메이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ πρώτη.
이제 나는 그것이 제1 아포토메이기도 하다고 주장한다.
ὧι γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΓ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Θ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΖΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ, καὶ ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ὁ δὲ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
왜냐하면, BH 위의 정사각형이 HΓ 위의 정사각형보다 더 큰 만큼을 Θ 위의 정사각형이라고 하자. 그리고 ED가 ZΔ에 대해 가지는 비율이 BH 위의 정사각형이 HΓ 위의 정사각형에 대해 가지는 비율과 같으므로, 그러므로 반전하면, HB 위의 정사각형이 Θ 위의 정사각형에 대해 가지는 비율은 ΔE가 EZ에 대해 가지는 비율과 같다. 그런데 DE는 EZ에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비율을 가진다.
ἑκάτερος γὰρ τετράγωνός ἐστιν·
왜냐하면 각각이 제곱수이기 때문이다.
καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 HB 위의 정사각형도 Θ 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비율을 가진다.
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει.
그러므로 BH는 Θ와 길이에서 통약할 수 있다.
καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς Θ·
그리고 BH는 HΓ보다 Θ 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다.
ἡ ΒΗ ἄρα τῆς ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
그러므로 BH는 HΓ보다 자신과 길이에서 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다.
καί ἐστιν ἡ ὅλη ἡ ΒΗ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ Α. ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστι πρώτη.
그리고 전체인 BH는 설정된 유리선 A와 길이에서 통약할 수 있다. 그러므로 BΓ는 제1 아포토메이다.
εὕρηται ἄρα ἡ πρώτη ἀποτομὴ ἡ ΒΓ·
그러므로 제1 아포토메 BΓ가 찾아졌다.
ὅπερ ἔδει εὑρεῖν.
이것이 찾고자 하던 것이였다.
§10.prop3.86εὑρεῖν τὴν δευτέραν ἀποτομήν.
제2 아포토메를 찾기.
Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α καὶ τῇ Α σύμμετρος μήκει ἡ ΗΓ. ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΓ. καὶ ἐκκείσθωσαν δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΔΕ, ΕΖ, ὧν ἡ ὑπεροχὴ ὁ ΔΖ μὴ ἔστω τετράγωνος.
유리선 A가 설정되어 있고, HΓ가 A와 길이에서 통약할 수 있다고 하자. 그러므로 HΓ도 유리선이다. 그리고 두 개의 제곱수 DE, EZ가 설정되어 있고, 그 차이 ΔZ가 제곱수가 아니라고 하자.
καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΖΔ πρὸς τὸν ΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ τετράγωνον.
그리고 ZΔ가 ΔE에 대해 가지는 비율이 ΓH 위의 정사각형이 HB 위의 정사각형에 대해 가지는 비율과 같게 되도록 만들어졌다고 하자.
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΗ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ τετραγώνῳ.
그러므로, ΓH 위의 정사각형은 HB 위의 정사각형과 통약할 수 있다.
ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ. ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ·
그런데 HΓ 위의 정사각형은 유리적이다. 그러므로 HB 위의 정사각형도 유리적이다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΓΗ τῇ ΗΒ μήκει.
그러므로 BH는 유리선이다. 그리고 HΓ 위의 정사각형이 HB 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비율을 가지지 않으므로, ΓH는 HB와 길이에서 통약할 수 없다.
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
그리고 둘 다 유리선이다.
αἱ ΓΗ, ΗΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 ΓH, HB는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선이다.
ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστιν.
그러므로 BΓ는 아포토메이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ δευτέρα.
이제 나는 그것이 제2 아포토메이기도 하다고 주장한다.
ὧι γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΓ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ, οὕτως ὁ ΕΔ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΔΖ ἀριθμόν, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ, οὕτως ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ. καί ἐστιν ἑκάτερος τῶν ΔΕ, ΕΖ τετράγωνος·
왜냐하면, BH 위의 정사각형이 HΓ 위의 정사각형보다 더 큰 만큼을 Θ 위의 정사각형이라고 하자. 그러면 BH 위의 정사각형이 HΓ 위의 정사각형에 대해 가지는 비율이 수 EΔ가 수 ΔZ에 대해 가지는 비율과 같으므로, 그러므로 반전하면, BH 위의 정사각형이 Θ 위의 정사각형에 대해 가지는 비율은 ΔE가 EZ에 대해 가지는 비율과 같다. 그리고 DE, EZ 각각은 제곱수이다.
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 BH 위의 정사각형도 Θ 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비율을 가진다.
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει.
그러므로 BH는 Θ와 길이에서 통약할 수 있다.
καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς Θ·
그리고 BH는 HΓ보다 Θ 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다.
ἡ ΒΗ ἄρα τῆς ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
그러므로 BH는 HΓ보다 자신과 길이에서 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다.
καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΓΗ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμμετρος τῇ Α. ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστι δευτέρα.
그리고 붙여지는 직선인 ΓH는 설정된 유리선 A와 통약할 수 있다. 그러므로 BΓ는 제2 아포토메이다.
εὕρηται ἄρα δευτέρα ἀποτομὴ ἡ ΒΓ·
그러므로 제2 아포토메 BΓ가 찾아졌다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여주고자 하던 것이었다.