§10.prop3.85εὑρεῖν τὴν πρώτην ἀποτομήν.
求第一离线。
Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α, καὶ τῇ Α μήκει σύμμετρος ἔστω ἡ ΒΗ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΗ. καὶ ἐκκείσθωσαν δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΔΕ, ΕΖ, ὧν ἡ ὑπεροχὴ ὁ ΖΔ μὴ ἔστω τετράγωνος·
设有一条有理线A，且设BH在长度上与A可共测；因此BH也是有理线。
οὐδʼ ἄρα ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
并设有二平方数DE、EZ，设其差ZD 不是平方数；因此ED与DZ之比，不等于平方数与平方数之比。
καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ τετράγωνον· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ·
设使ED与DZ之比，等于BH上的正方形与HΓ上的正方形之比；因此BH上的正方形与HΓ上的正方形可共测。
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΗΓ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
而BH上的正方形是有理的；因此HΓ上的正方形也是有理的；因此HΓ也是有理线。 且由于ED与DZ之比，不等于平方数与平方数之比，因此BH上的正方形与HΓ上的正方形之比，也不等于平方数与平方数之比；因此BH在长度上与HΓ不可共测。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΒΗ, ΗΓ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ἄρα ΒΓ ἀποτομή ἐστιν.
且二者皆为有理线；因此BH、HΓ是仅在平方上可共测的有理线；因此BΓ是离线。
λέγω δή, ὅτι καὶ πρώτη.
我且说，它也是第一离线。
ὧι γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΓ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Θ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΖΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ, καὶ ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ὁ δὲ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
因为，设BH上的正方形比HΓ上的正方形大一个在Θ上的正方形。 且由于ED与ZΔ之比，等于BH上的正方形与HΓ上的正方形之比，因此反转比，DE与EZ之比，等于HB上的正方形与Θ上的正方形之比。
ἑκάτερος γὰρ τετράγωνός ἐστιν· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει.
而DE与EZ之比，等于平方数与平方数之比；因为二者皆为平方数；因此HB上的正方形与Θ上的正方形之比，也等于平方数与平方数之比；因此BH在长度上与Θ可共测。
καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς Θ· ἡ ΒΗ ἄρα τῆς ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
且BH比HΓ在平方上大一个在Θ上的正方形；因此BH比HΓ在平方上大一个在长度上与自身可共测的线上的正方形。
καί ἐστιν ἡ ὅλη ἡ ΒΗ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ Α. ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστι πρώτη.
而整体BH在长度上与设定的有理线A可共测。 因此BΓ是第一离线。
εὕρηται ἄρα ἡ πρώτη ἀποτομὴ ἡ ΒΓ· ὅπερ ἔδει εὑρεῖν.
因此，求得了第一离线BΓ；此即所求。
§10.prop3.86εὑρεῖν τὴν δευτέραν ἀποτομήν.
求第二离线。
Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α καὶ τῇ Α σύμμετρος μήκει ἡ ΗΓ. ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΓ. καὶ ἐκκείσθωσαν δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΔΕ, ΕΖ, ὧν ἡ ὑπεροχὴ ὁ ΔΖ μὴ ἔστω τετράγωνος.
设有一条有理线A，且设HΓ在长度上与A可共测；因此HΓ也是有理线。 并设有二平方数DE、EZ，设其差ΔZ 不是平方数。
καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΖΔ πρὸς τὸν ΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ τετράγωνον.
且设使ZΔ与ΔE之比，等于ΓH上的正方形与HB上的正方形之比。
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΗ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ τετραγώνῳ.
因此， ΓH上的正方形与HB上的正方形可共测。
ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ. ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ·
而HΓ上的正方形是有理的；因此HB上的正方形也是有理的；因此BH是有理线。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΓΗ τῇ ΗΒ μήκει.
且由于HΓ上的正方形与HB上的正方形之比，不等于平方数与平方数之比，ΓH在长度上与HB不可共测。
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΓΗ, ΗΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστιν.
且二者皆为有理线；因此ΓH、HB是仅在平方上可共测的有理线；因此BΓ是离线。
λέγω δή, ὅτι καὶ δευτέρα.
我且说，它也是第二离线。
ὧι γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΓ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ, οὕτως ὁ ΕΔ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΔΖ ἀριθμόν, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ, οὕτως ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ. καί ἐστιν ἑκάτερος τῶν ΔΕ, ΕΖ τετράγωνος·
因为，设BH上的正方形比HΓ上的正方形大一个在Θ上的正方形。 因此，由于BH上的正方形与HΓ上的正方形之比，等于数EΔ与数ΔZ之比，因此反转比，BH上的正方形与Θ上的正方形之比，等于ΔE与EZ之比。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει.
且 DE、EZ的每一个都是平方数；因此BH上的正方形与Θ上的正方形之比，等于平方数与平方数之比；因此BH在长度上与Θ可共测。
καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς Θ· ἡ ΒΗ ἄρα τῆς ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
且BH比HΓ在平方上大一个在Θ上的正方形；因此BH比HΓ在平方上大一个在长度上与自身可共测的线上的正方形。
καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΓΗ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμμετρος τῇ Α. ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστι δευτέρα.
而附合线ΓH与设定的有理线A可共测。 因此BΓ是第二离线。
εὕρηται ἄρα δευτέρα ἀποτομὴ ἡ ΒΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
...因此，求得了第二离线BΓ；此即所证。