§10.prop3.87εὑρεῖν τὴν τρίτην ἀποτομήν.
第3のアポトメーを見出すこと。
Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α, καὶ ἐκκείσθωσαν τρεῖς ἀριθμοὶ οἱ Ε, ΒΓ, ΓΔ λόγον μὴ ἔχοντες πρὸς ἀλλήλους, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ὁ δὲ ΓΒ πρὸς τὸν ΒΔ λόγον ἐχέτω, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ πεποιήσθω ὡς μὲν ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τετράγωνον, ὡς δὲ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τετράγωνον, σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ τετραγώνῳ.
有理（直線）Aが設定され、3つの数E, BΓ, ΓΔは、互いに対して、平方数が平方数に対して有する比を持たないものとして設定されよ。 そして、 ΓΒはBΔに対して、平方数が平方数に対して有する比を持つとせよ。 そして、EのBΓに対する比が、A上の正方形の ΖΗ上の正方形に対する比と等しく、かつ、BΓのΓΔに対する比が、ΖΗ上の正方形のΗΘ上の正方形に対する比と等しくなるように作られたとせよ。 さて、EのBΓに対する比が、A上の正方形のΖΗ上の正方形に対する比と等しいから、したがってA上の正方形はΖΗ上の正方形と通約可能である。
ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον.
そしてA上の正方形は有理である。
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ·
したがってΖΗ上の正方形も有理である。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
それゆえ、ΖΗは有理である。 そして、EがBΓに対して、平方数が平方数に対して有する比を持たないから、したがって A上の正方形もΖΗ上の正方形に対して、平方数が平方数に対して有する比を持たない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ ΖΗ μήκει.
それゆえ、AはΖΗと長さにおいて通約不可能である。
πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΘ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ·
再び、BΓのΓΔに対する比が、ΖΗ上の正方形のΗΘ上の正方形に対する比と等しいから、したがって ΖΗ上の正方形はΗΘ上の正方形と通約可能である。 そしてΖΗ上の正方形は有理である。
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ·
したがってΗΘ上の正方形も有理である。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
それゆえ、ΗΘは有理である。 そして、BΓがΓΔに対して、平方数が平方数に対して有する比を持たないから、したがってΖΗ上の正方形もΗΘ上の正方形に対して、平方数が平方数に対して有する比を持たない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει.
それゆえ、ΖΗはΗΘと長さにおいて通約不可能である。
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
そして両者は有理である。
αἱ ΖΗ, ΗΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがってΖΗ, ΗΘは平方においてのみ通約可能な有理（直線）である。
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΘ.
λέγω δή, ὅτι καὶ τρίτη.
それゆえ、ΖΘはアポトメーである。 今や、それは第3（のアポトメー）でもあると主張する。
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς μὲν ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ὡς δὲ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ. ὁ δὲ Ε πρὸς τὸν ΓΔ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
というのも、EのBΓに対する比が、A上の正方形のΖΗ上の正方形に対する比と等しく、かつ、BΓのΓΔに対する比が、ΖΗ上の正方形のΘΗ上の正方形に対する比と等しいから、したがって等比（の理）により、EのΓΔに対する比は、A上の正方形のΘΗ上の正方形に対する比と等しい。 そして、EはΓΔに対して、平方数が平方数に対して有する比を持たない。
οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって、A上の正方形もΗΘ上の正方形に対して、平方数が平方数に対して有する比を持たない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἡ Α τῇ ΗΘ μήκει.
それゆえ、AはΗΘと長さにおいて通約不可能である。
οὐδετέρα ἄρα τῶν ΖΗ, ΗΘ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Α μήκει.
したがって、ΖΗ, ΗΘのいずれも、設定された有理直線Aと長さにおいて通約可能ではない。
ᾧ οὖν μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΘ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Κ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΒΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ. ὁ δὲ ΒΓ πρὸς τὸν ΒΔ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
さて、ΖΗ上の正方形がΗΘ上の正方形よりも大きい（正方形）を、Κ上の正方形とせよ。 さて、BΓのΓΔに対する比が、ΖΗ上の正方形のΗΘ上の正方形に対する比と等しいから、したがって反転すると、BΓのBΔに対する比は、ΖΗ上の正方形のΚ上の正方形に対する比と等しい。 そして、BΓはBΔに対して、平方数が平方数に対して有する比を持つ。
καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
したがって、ΖΗ上の正方形もΚ上の正方形に対して、平方数が平方数に対して有する比を持つ。
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Κ μήκει, καὶ δύναται ἡ ΖΗ τῆς ΗΘ μεῖζον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
したがって、ΖΗはΚと長さにおいて通約可能であり、そしてΖΗはΗΘよりも自身と長さにおいて通約可能な直線上の正方形だけ平方において大きい。
καὶ οὐδετέρα τῶν ΖΗ, ΗΘ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Α μήκει·
そしてΖΗ, ΗΘのいずれも、設定された有理直線Aと長さにおいて通約可能ではない。
ἡ ΖΘ ἄρα ἀποτομή ἐστι τρίτη.
したがって、ΖΘは第3のアポトメーである。
εὕρηται ἄρα ἡ τρίτη ἀποτομὴ ἡ ΖΘ·
したがって、第3のアポトメーΖΘが見出された。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきものであった。