§10.prop3.111ἡ ἀποτομὴ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων.
アポトメは二項名法と同一ではない。
ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ·
ABがアポトメであるとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων.
私はABが二項名法と同一ではないと主張する。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω·
なぜなら、もし可能なら、そうであるとせよ。
καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΓ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΕ. ἐπεὶ οὖν ἀποτομή ἐστιν ἡ ΑΒ, ἀποτομὴ πρώτη ἐστὶν ἡ ΔΕ. ἔστω αὐτῇ προσαρμόζουσα ἡ ΕΖ·
そして有理（直線）DΓが置かれたとし、 AB上の正方形に等しい長方形ΓEが、ΓDに沿って適用され、幅DEを作るとせよ。 したがって、ABはアポトメであるから、DEは第一のアポトメである。 これに対する付加線をEZとせよ。
αἱ ΔΖ, ΖΕ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΔΖ τῆς ΖΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΔΖ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΔΓ. πάλιν, ἐπεὶ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΑΒ, ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων πρώτη ἐστὶν ἡ ΔΕ. διῃρήσθω εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Η, καὶ ἔστω μεῖζον ὄνομα τὸ ΔΗ·
したがって、DZ, ZEは平方においてのみ通約可能な有理（直線）であり、DZはZEよりも、自身に長さにおいて通約可能な（直線上の正方形）の分だけ平方において大きく、かつDZは置かれた有理（直線）DΓと長さにおいて通約可能である。 次に、ABは二項名法であるから、DEは第一の二項名法である。 Hにおいて各名に分割されたとし、大きい方の名をDHとせよ。
αἱ ΔΗ, ΗΕ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΔΗ τῆς ΗΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ τὸ μεῖζον ἡ ΔΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΔΓ. καὶ ἡ ΔΖ ἄρα τῇ ΔΗ σύμμετρός ἐστι μήκει·
したがって、DH, HEは平方においてのみ通約可能な有理（直線）であり、DHはHEよりも、自身に（長さにおいて）通約可能な（直線上の正方形）の分だけ平方において大きく、かつ大きい方の（名である）DHは、置かれた有理（直線）DΓと長さにおいて通約可能である。 したがって、DZもDHと長さにおいて通約可能である。
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΖ σύμμετρός ἐστι τῇ ΔΖ μήκει.
それゆえ、残りのHZも DZと長さにおいて通約可能である。
ἀσύμμετρος δὲ ἡ ΔΖ τῇ ΕΖ μήκει·
ところが、DZはEZと長さにおいて通約不可能である。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ τῇ ΕΖ μήκει.
したがって、ZHもEZと長さにおいて通約不可能である。
αἱ ΗΖ, ΖΕ ἄρα ῥηταί δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、HZ, ZEは有理であり、平方においてのみ通約可能である。
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ. ἀλλὰ καὶ ῥητή·
したがって、EHはアポトメである。 しかし、それは有理でもある。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
ἡ ἄρα ἀποτομὴ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων·
したがって、アポトメは二項名法と同一ではない。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
ἡ ἀποτομὴ καὶ αἱ μετʼ αὐτὴν ἄλογοι οὔτε τῇ μέσῃ οὔτε ἀλλήλαις εἰσὶν αἱ αὐταί.
アポトメおよびそれより後の無理（直線）は、メディアルとも、また互いとも同一ではない。
τὸ μὲν γὰρ ἀπὸ μέσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ῥητὴν καὶ ἀσύμμετρον τῇ, παρʼ ἣν παράκειται, μήκει, τὸ δὲ ἀπὸ ἀποτομῆς παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην, τὸ δὲ ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς πρώτης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν δευτέραν, τὸ δὲ ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς δευτέρας παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν τρίτην, τὸ δὲ ἀπὸ ἐλάσσονος παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν τετάρτην, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πέμπτην, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν ἕκτην. ἐπεὶ οὖν τὰ εἰρημένα πλάτη διαφέρει τοῦ τε πρώτου καὶ ἀλλήλων, τοῦ μὲν πρώτου, ὅτι ῥητή ἐστιν, ἀλλήλων δέ, ἐπεὶ τῇ τάξει οὐκ εἰσὶν αἱ αὐταί, δῆλον, ὡς καὶ αὐταὶ αἱ ἄλογοι διαφέρουσιν ἀλλήλων. καὶ ἐπεὶ δέδεικται ἡ ἀποτομὴ οὐκ οὖσα ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων, ποιοῦσι δὲ πλάτη παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμεναι αἱ μετὰ τὴν ἀποτομὴν ἀποτομὰς ἀκολούθως ἑκάστη τῇ τάξει τῇ καθʼ αὑτήν, αἱ δὲ μετὰ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τὰς ἐκ δύο ὀνομάτων καὶ αὐταὶ τῇ τάξει ἀκολούθως, ἕτεραι ἄρα εἰσὶν αἱ μετὰ τὴν ἀποτομὴν καὶ ἕτεραι αἱ μετὰ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων, ὡς εἶναι τῇ τάξει πάσας ἀλόγους ιγ,
μέσην,
ἐκ δύο ὀνομάτων,
ἐκ δύο μέσων πρώτην,
ἐκ δύο μέσων δευτέραν,
μείζονα,
ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένην,
δύο μέσα δυναμένην,
ἀποτομήν,
μέσης ἀποτομὴν πρώτην,
μέσης ἀποτομὴν δευτέραν,
ἐλάσσονα,
μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσαν,
μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσαν.
なぜなら、メディアル（直線）上の正方形が有理（直線）に沿って適用されるとき、それは有理であって、それが適用された直線と長さにおいて通約不可能な幅を作るからであり、アポトメ上の正方形が有理（直線）に沿って適用されるとき、それは第一のアポトメである幅を作り、第一のメディアルのアポトメ上の正方形が有理（直線）に沿って適用されるとき、それは第二のアポトメである幅を作り、第二のメディアルのアポトメ上の正方形が有理（直線）に沿って適用されるとき、それは第三のアポトメである幅を作り、マイナー（直線）上の正方形が有理（直線）に沿って適用されるとき、それは第四のアポトメである幅を作り、有理（領域）とともに全体をメディアルにする（直線）上の正方形が有理（直線）に沿って適用されるとき、それは第五のアポトメである幅を作り、メディアル（領域）とともに全体をメディアルにする（直線）上の正方形が有理（直線）に沿って適用されるとき、それは第六のアポトメである幅を作るからである。したがって、上述の幅は最初（のもの）とも互いとも異なる（最初のものとは、それが有理であることで異なり、互いとは、それらが序列において同一でないことで異なる）から、それら自体である無理（直線）もまた互いに異なることは明らかである。そして、アポトメは二項名法と同一ではないことが示されており、アポトメより後の（無理直線）が有理（直線）に沿って適用されるとき、それぞれ自身の序列に従ってアポトメを幅として作り、二項名法より後の（無理直線）もまた自身の序列に従って二項名法を（幅として）作るから、アポトメより後のものと二項名法より後のものは異なる（無理直線）であり、したがって序列においてすべての無理（直線）は13個となる：メディアル、二項名法、第一の二項メディアル、第二の二項メディアル、メジャー、有理領域とメディアル領域を平方する直線、二つのメディアル領域を平方する直線、アポトメ、第一のメディアルのアポトメ、第二のメディアルのアポトメ、マイナー、有理領域とともに全体をメディアルにする直線、メディアル領域とともに全体をメディアルにする直線。 したがって、上述の幅は最初（のもの）とも互いとも異なる（最初のものとは、それが有理であることで異なり、互いとは、それらが序列において同一でないことで異なる）から、それら自体である無理（直線）もまた互いに異なることは明らかである。 そして、アポトメは二項名法と同一ではないことが示されており、アポトメより後の（無理直線）が有理（直線）に沿って適用されるとき、それぞれ自身の序列に従ってアポトメを幅として作り、二項名法より後の（無理直線）もまた自身の序列に従って二項名法を（幅として）作るから、アポトメより後のものと二項名法より後のものは異なる（無理直線）であり、したがって序列においてすべての無理（直線）は13個となる： μέσην, メディアル、 ἐκ δύο ὀνομάτων, 二項名法、 ἐκ δύο μέσων πρώτην, 第一の二項メディアル、 ἐκ δύο μέσων δευτέραν, 第二の二項メディアル、 μείζονα, メジャー、 ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένην, 有理領域とメディアル領域を平方する直線、 δύο μέσα δυναμένην, 二つのメディアル領域を平方する直線、 ἀποτομήν, アポトメ、 μέσης ἀποτομὴν πρώτην, 第一のメディアルのアポトメ、 μέσης ἀποτομὴν δευτέραν, 第二のメディアルのアポトメ、 ἐλάσσονα, マイナー、 μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσαν, 有理領域とともに全体をメディアルにする直線、 μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσαν. メディアル領域とともに全体をメディアルにする直線。