§10.prop3.113τὸ ἀπὸ ῥητῆς παρὰ ἀποτομὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἔτι δὲ ἡ γινομένη ἐκ δύο ὀνομάτων τὴν αὐτὴν τάξιν ἔχει τῇ ἀποτομῇ.
有理（直線）上の正方形がアポトメに沿って適用されるとき、それは幅として二項（直線）を作り、その（二項直線の）名はアポトメの名と通約可能であって、さらに同じ比にあり、かつ、作られる二項（直線）は、アポトメと同一の序列を持つ。
ἔστω ῥητὴ μὲν ἡ Α, ἀποτομὴ δὲ ἡ ΒΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΚΘ, ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς Α ῥητῆς παρὰ τὴν ΒΔ ἀποτομὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ΚΘ·
Aを有理（直線）とし、BΔをアポトメとして、A上の正方形に等しい長方形を、BΔとKΘによって囲まれる（長方形）とせよ。 その結果、有理直線A上の正方形がBΔアポトメに沿って適用されるとき、幅としてKΘを作る。
λέγω, ὅτι ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΚΘ, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς ΒΔ ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔτι ἡ ΚΘ τὴν αὐτὴν ἔχει τάξιν τῇ ΒΔ.
ἔστω γὰρ τῇ ΒΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΓ·
私は、KΘが二項（直線）であり、その名がBΔの名と通約可能で、同じ比にあり、さらにKΘがBΔと同じ序列を持つと主張する。 なぜなら、BΔに付加される直線を ΔΓとせよ。
αἱ ΒΓ, ΓΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
したがって、BΓ, ΓΔは平方においてのみ通約可能な有理直線である。
καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἔστω καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, Η. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Α· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, Η. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΒΓ παραβέβληται·
そして、A上の正方形に等しい長方形を、BΓとHによって囲まれる（長方形）ともせよ。 ところが、A上の正方形は有理であるから、BΓとH（によって囲まれる長方形）も有理である。 そして、それは有理直線BΓに沿って適用されている。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ Η καὶ σύμμετρος τῇ ΒΓ μήκει.
したがって、Hは有理直線であり、 BΓと長さにおいて通約可能である。
ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, Η ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΚΘ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς Η. μείζων δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΒΔ·
したがって、BΓとH（によって囲まれる長方形）がBΔとKΘ（によって囲まれる長方形）に等しいので、比例関係により、ΓB対BΔは、KΘ対Hである。 ところが、BΓはBΔより大きい。
μείζων ἄρα καὶ ἡ ΚΘ τῆς Η. κείσθω τῇ Η ἴση ἡ ΚΕ·
したがって、KΘもHより大きい。 Hに等しいものをKEとせよ。
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΕ τῇ ΒΓ μήκει.
したがって、KEはBΓと長さにおいて通約可能である。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς ΚΕ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ. γεγονέτω ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ, οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς ΖΕ·
そして ΓB対BΔが、ΘK対KEであるから、比を反転させれば、BΓ対ΓΔは、KΘ対ΘEである。 KΘ対ΘEが、ΘΖ対ΖΕとなるようにせよ。
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΖ πρὸς ΖΘ ἐστιν, ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ, τουτέστιν ἡ ΒΓ πρὸς ΓΔ. αἱ δὲ ΒΓ, ΓΔ δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、残りのKΖ対ΖΘも、KΘ対ΘE、すなわちBΓ対ΓΔである。 ところが BΓ, ΓΔは平方においてのみ通約可能である。
καὶ αἱ ΚΖ, ΖΘ ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι.
したがって、KΖ, ΖΘも平方においてのみ通約可能である。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ, ἡ ΚΖ πρὸς ΖΘ, ἀλλʼ ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ, ἡ ΘΖ πρὸς ΖΕ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΖ πρὸς ΖΘ, ἡ ΘΖ πρὸς ΖΕ·
そして、KΘ対ΘEがKΖ対ΖΘであり、かつ、KΘ対ΘEがΘΖ対ΖΕであるから、KΖ対ΖΘもΘΖ対ΖΕである。
ὥστε καὶ ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας·
それゆえ、第一対第三は、第一上の正方形対第二上の正方形に等しいから、KΖ対ΖΕも、KΖ上の正方形対ΖΘ上の正方形である。
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΖ πρὸς ΖΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ. σύμμετρον δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΘ·
ところが、KΖ上の正方形はΖΘ上の正方形と通約可能である。
αἱ γὰρ ΚΖ, ΖΘ δυνάμει εἰσὶ σύμμετροι·
なぜならKΖ, ΖΘは平方において通約可能だからである。
σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΚΖ τῇ ΖΕ μήκει·
したがって、KΖもΖΕと長さにおいて通約可能である。
ὥστε ἡ ΚΖ καὶ τῇ ΚΕ σύμμετρός μήκει.
それゆえ、KΖもKEと長さにおいて通約可能である。
ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΚΕ καὶ σύμμετρος τῇ ΒΓ μήκει·
ところが、KEは有理直線であり、BΓと長さにおいて通約可能である。
ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΚΖ καὶ σύμμετρος τῇ ΒΓ μήκει.
したがって、KΖも有理直線であり、BΓと長さにおいて通約可能である。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΔ, οὕτως ἡ ΚΖ πρὸς ΖΘ, ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΚΖ, οὕτως ἡ ΔΓ πρὸς ΖΘ. σύμμετρος δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΚΖ·
そして、BΓ対ΓΔがKΖ対ΖΘであるから、交互比により、BΓ対KΖは、ΔΓ対ΖΘである。 ところが、BΓはKΖと通約可能である。
σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΖΘ τῇ ΓΔ μήκει.
したがって、 ΖΘもΓΔと長さにおいて通約可能である。
αἱ ΒΓ, ΓΔ δὲ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
ところが、BΓ, ΓΔは有理直線であって、平方においてのみ通約可能である。
καὶ αἱ ΚΖ, ΖΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、KΖ, ΖΘも有理直線であって、平方においてのみ通約可能である。
ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἄρα ἡ ΚΘ.
εἰ μὲν οὖν ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΚΖ τῆς ΖΘ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
それゆえ、KΘは二項（直線）である。 もし、BΓがΓΔよりも、自身に通約可能な直線上の正方形の分だけ平方において大きいならば、KΖもΖΘよりも、自身に通約可能な直線上の正方形の分だけ平方において大きくなる。
καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΚΖ, εἰ δὲ ἡ ΓΔ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΖΘ, εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΒΓ, ΓΔ, οὐδετέρα τῶν ΚΖ, ΖΘ.
εἰ δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΚΖ τῆς ΖΘ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
そして、もしBΓが置かれた有理直線と長さにおいて通約可能なら、KΖも（通約可能）であり、もしΓΔが置かれた有理直線と長さにおいて通約可能なら、ΖΘも（通約可能）であり、もしBΓ, ΓΔのいずれでもないなら、KΖ, ΖΘのいずれでもない。 もし、BΓがΓΔよりも、自身に通約不可能な直線上の正方形の分だけ平方において大きいならば、KΖもΖΘよりも、自身に通約不可能な直線上の正方形の分だけ平方において大きくなる。
καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΚΖ, εἰ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ ἡ ΖΘ, εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΒΓ, ΓΔ, οὐδετέρα τῶν ΚΖ, ΖΘ.
ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΚΘ, ἧς τὰ ὀνόματα τὰ ΚΖ, ΖΘ σύμμετρά τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνόμασι τοῖς ΒΓ, ΓΔ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔτι ἡ ΚΘ τῇ ΒΓ τὴν αὐτὴν ἕξει τάξιν·
そして、もしBΓが置かれた有理直線と長さにおいて通約可能なら、KΖも（通約可能）であり、もしΓΔなら、ΖΘも（通約可能）であり、もしBΓ, ΓΔのいずれでもないなら、KΖ, ΖΘのいずれでもない。 したがって、KΘは二項（直線）であり、その名である KΖ, ΖΘは、アポトメの名であるBΓ, ΓΔと通約可能で、かつ同じ比にあり、さらにKΘはBΓと同じ序列を持つ。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。