§10.prop2.84τῇ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσῃ μία μόνη προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον τό τε δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν.
中項とともに全体として中項を作る（直線）に対しては、全体と平方において通約不可能であり、かつ全体とともに、それらの上の正方形の和を中項に、それらによる長方形の2倍を中項に、さらにそれらの上の正方形の和と通約不可能にするような、ただ1つの直線のみが適合する。
ἔστω ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΒΓ·
中項とともに全体として中項を作る直線をABとし、それに適合する直線をBCとせよ。
αἱ ἄρα ΑΓ, ΓΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὰ προειρημένα.
それゆえ、AC, CBは平方において通約不可能であり、前述のことをなす。
λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόσει ποιοῦσα τὰ προειρημένα.
私は言う、ABに対して、前述のことをなす別の直線は適合しないであろう。
εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ, ὥστε καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τά τε ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα ἅμα μέσον καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μέσον καὶ ἔτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἀσύμμετρα τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ·
なぜなら、もし可能なら、BDが適合するとせよ、その結果、AD, DBもまた平方において通約不可能であり、 AD, DB上の正方形の和を同時に中項に、AD, DBによる長方形の2倍を中項に、さらにAD, DB上の正方形をAD, DBによる長方形の2倍と通約不可能にする。
καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΕΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΜ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΘΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΜ·
そして、有理（直線）EZをとれ。 そして、AC, CB上の正方形の和に等しい面積EHを、幅EMを作るようにEZに沿って適用せよ。 また、AC, CBによる長方形の2倍に等しい面積THを、幅TMを作るようにEZに沿って適用せよ。
λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΕΛ·
それゆえ、残りの面積はAB上の正方形に等しく、それはELに等しい。
ἡ ἄρα ΑΒ δύναται τὸ ΕΛ. πάλιν τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΕΙ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΝ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον τῷ ΕΛ·
したがって、ABはELに等しい正方形を作る。 再び、AD, DB上の正方形の和に等しい面積EIを、幅ENを作るようにEZに沿って適用せよ。 そしてまた、AB上の正方形はELに等しい。
λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσον τῷ ΘΙ. καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΕΗ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΕΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΜ·
それゆえ、残りのAD, DBによる長方形の2倍はTIに等しい。 そして、AC, CB上の正方形の和は中項であり、それはEHに等しいから、EHもまた中項である。 そして、それは有理（直線）EZに沿って適用され、幅 EMを作る。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
それゆえ、EMは有理であり、EZと長さにおいて通約不可能である。
πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΘΗ, μέσον ἄρα καὶ τὸ ΘΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΜ·
再び、AC, CBによる長方形の2倍は中項であり、それはTHに等しいから、THもまた中項である。 そして、それは有理（直線）EZに沿って適用され、幅TMを作る。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
それゆえ、TMは有理であり、EZと長さにおいて通約不可能である。
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ἀσύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΕΗ τῷ ΘΗ·
そして、AC, CB上の正方形の和は、AC, CBによる長方形の2倍と通約不可能であるから、EHもまたTHと通約不可能である。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΜ τῇ ΜΘ μήκει.
それゆえ、EMもまたMTと長さにおいて通約不可能である。
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
そして、両者は有理である。
αἱ ἄρα ΕΜ, ΜΘ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
それゆえ、EM, MTは、平方においてのみ通約可能な有理（直線）である。
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΘΜ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ἡ ΕΘ πάλιν ἀποτομή ἐστιν, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΘΝ. τῇ ἄρα ἀποτομῇ ἄλλη καὶ ἄλλη προσαρμόζει ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ·
したがって、ETはアポトメーであり、それに適合する直線はTMである。 同様にして、ETは再びアポトメーであり、それに適合する直線はTNであることを示すことができる。 それゆえ、同じアポトメーに対して、全体と平方においてのみ通約可能な異なる有理直線が適合することになる。
ὅπερ ἐδείχθη ἀδύνατον.
しかし、これは不可能であることが示されていた。
οὐκ ἄρα τῇ ΑΒ ἑτέρα προσαρμόσει εὐθεῖα.
それゆえ、ABに対して、別の直線は適合しないであろう。
τῇ ἄρα ΑΒ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τά τε ἀπʼ αὐτῶν τετράγωνα ἅμα μέσον καὶ τὸ δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι τὰ ἀπʼ αὐτῶν τετράγωνα ἀσύμμετρα τῷ δὶς ὑπʼ αὐτῶν·
それゆえ、ABに対しては、全体と平方において通約不可能であり、かつ全体とともに、それらの上の正方形の和を同時に中項に、それらによる長方形の2倍を中項に、さらにそれらの上の正方形をそれらによる長方形の2倍と通約不可能にするような、ただ1つの直線のみが適合する。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。