§10.prop2.82τῇ ἐλάσσονι μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ ποιοῦσα μετὰ τῆς ὅλης τὸ μὲν ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον.
小線に対しては、全体と平方において通約不可能であり、かつ全体とともに、それらの上の正方形の和を有理に、それらによる長方形の2倍を中項にするような、ただ1つの直線のみが適合する。
ἔστω ἡ ἐλάσσων ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἔστω ἡ ΒΓ·
小線をABとし、ABに適合する直線をBCとせよ。
αἱ ἄρα ΑΓ, ΓΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον·
それゆえ、AC, CBは平方において通約不可能であり、それらの上の正方形の和を有理に、それらによる長方形の2倍を中項にする。
λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα εὐθεῖα οὐ προσαρμόσει τὰ αὐτὰ ποιοῦσα.
私は言う、ABに対して、同じことをなす別の直線は適合しないであろう。
εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ·
なぜなら、もし可能なら、BDが適合するとせよ。
καὶ αἱ ΑΔ, ΔΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὰ προειρημένα.
それゆえ、AD, DBもまた平方において通約不可能であり、前述のことをなす。
καὶ ἐπεί, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τὰ δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνων ὑπερέχει ῥητῷ· ῥητὰ γάρ ἐστιν ἀμφότερα·
そして、AD, DB上の正方形の和がAC, CB上の正方形の和を超えるところのその差でもって、AD, DBによる長方形の2倍もまたAC, CBによる長方形の2倍を超えるが、AD, DB上の正方形はAC, CB上の正方形を有理（の量）だけ超える（なぜなら、両者は有理だからである）。
καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ·
それゆえ、AD, DBによる長方形の2倍もまたAC, CBによる長方形の2倍を有理（の量）だけ超える。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
しかし、これは不可能である。
μέσα γάρ ἐστιν ἀμφότερα.
なぜなら、両者は中項だからである。
τῇ ἄρα ἐλάσσονι μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ καὶ ποιοῦσα τὰ μὲν ἀπʼ αὐτῶν τετράγωνα ἅμα ῥητόν, τὸ δὲ δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον·
それゆえ、小線に対しては、全体と平方において通約不可能であり、かつそれらの上の正方形の和を同時に有理に、それらによる長方形の2倍を中項にするような、ただ1つの直線のみが適合する。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop2.83τῇ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσῃ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δὲ δὶς ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν.
有理とともに全体として中項を作る（直線）に対しては、全体と平方において通約不可能であり、かつ全体とともに、それらの上の正方形の和を中項に、それらによる長方形の2倍を有理にするような、ただ1つの直線のみが適合する。
ἔστω ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ προσαρμοζέτω ἡ ΒΓ·
有理とともに全体として中項を作る直線をABとし、ABに適合する直線をBCとせよ。
αἱ ἄρα ΑΓ, ΓΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὰ προκείμενα·
それゆえ、AC, CBは平方において通約不可能であり、前述のことをなす。
λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόσει τὰ αὐτὰ ποιοῦσα.
私は言う、ABに対して、同じことをなす別の直線は適合しないであろう。
εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ·
なぜなら、もし可能なら、BDが適合するとせよ。
καὶ αἱ ΑΔ, ΔΒ ἄρα εὐθεῖαι δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὰ προκείμενα.
それゆえ、AD, DB もまた平方において通約不可能であり、前述のことをなす。
ἐπεὶ οὖν, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἀκολούθως τοῖς πρὸ αὐτοῦ, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ·
それゆえ、前の（議論）に従って、AD, DB上の正方形の和がAC, CB上の正方形の和を超えるところのその差でもって、AD, DBによる長方形の2倍もまたAC, CBによる長方形の2倍を超えるが、AD, DBによる長方形の2倍はAC, CBによる長方形の2倍を有理（の量）だけ超える（なぜなら、両者は有理だからである）。
ῥητὰ γάρ ἐστιν ἀμφότερα· καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ·
それゆえ、AD, DB上の正方形もまたAC, CB上の正方形を有理（の量）だけ超える。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
しかし、これは不可能である。
μέσα γάρ ἐστιν ἀμφότερα.
なぜなら、両者は中項だからである。
οὐκ ἄρα τῇ ΑΒ ἑτέρα προσαρμόσει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τὰ προειρημένα·
それゆえ、ABに対して、全体と平方において通約不可能であり、かつ全体とともに前述のことをなす別の直線は適合しないであろう。
μία ἄρα μόνον προσαρμόσει·
それゆえ、ただ1つだけが適合する。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。